Mỗi tập con gồm 3 điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp 6 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác. Từ đó ta có: số tam giác có thể lập được (từ 6 điểm đã cho) là:

C³₆ = = 20 (tam giác)

Để lập được một hình chữ nhât, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:

Hành động 1: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song song đã cho. Số các cách để thực hiện hành động này là C²₄ = = 6 (cách)

Hành động 2: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 5 đường thẳng đã cho, vuông góc với 4 đường thẳng song song. Số các cách để thực hiện hành động này là

C²₅ = = 10 (cách).

Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để lập thành một hình chữ nhật từ các đường thẳng đã cho là 6 . 10 = 60 (cách).

Qua trên suy ra từ các đường thẳng đã cho có thể lập được 60 hình chữ nhât.

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ".

a) Không gian mẫu được mô tả bởi tập

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

b) A = {1, 2, 3, 4, 5};

B = {7, 8, 9, 10};

C = {2, 4, 6, 8, 10}.

Phép thử T được xét là: "Gieo một con súc sắc hai lần".

a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử T được liệt kê trong bảng sau đây.

Trong bảng này, cột I là các mặt i chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ nhất, i = .

Dòng II (dòng trên cùng) là các mặt j chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ 2, j = . Mỗi ô (i, j) (giao của dòng i và cột j, 1 ≤ i, j ≤ 6) biểu thị một kết quả có thể có của phép thử T là: lần gieo thứ nhất ra mặt i chấm, lần gieo thứ 2 ra mặt j chấm.

Không gian mẫu:

Ta có thể mô tả không gian mẫu dưới dạng như sau:

Ω = {(i, j) i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6},

ở đó (i, j) là kết quả: " Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".

Không gian mẫu có 36 phần tử.

b) A = "Lần gieo đầu được mặt 6 chấm";

B = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8";

C = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau".

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ".

a) Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một tổ hợp chập 2 của 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là C²₄ = 6, và không gian mẫu gồm các phần tử sau:

Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.

b) A = {(1, 3), (2, 4)}.

B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} = Ω {(1, 3)}

Phép thử T được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có = "Người thứ k không bắn trúng", k = 1, 2. Từ đó ta có:

a) A = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra A = . .

Tương tự, ta có B = "Cả hai đều bắn trúng" = . .

Xét C = "Có đúng một người bắn trúng", ta có C là hợp của hai biến cố sau:

"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" = A₁ . .

"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = . A₂ .

Suy ra C = A₁ . ∪ . A₂ .

Tương tự, ta có D = A₁ ∪ A₂ .

b) Gọi là biến cố: " Cả hai người đều bắn trượt". Ta có

= . = A.

Hiển nhiên B ∩ C = Φ nên suy ra B và C xung khắc với nhau.

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵= a⁵ + 5a⁴ (2b) + 10a³(2b)² + 10a² (2b)³ + 5a (2b)⁴ + (2b)⁵

= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶.

= a⁶ - 6√2a⁵ + 30a⁴ - 40√2a³ + 60a² - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

(x - )¹³= [x + (- )]¹³ = C^k₁₃ . x^{13 – k} . (-)^k = C^k₁₃ . (-1)^k . x^{13 – 2k}

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

(x+ )⁶ = C^k₆ . x^{6 – k} . ()^k = C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k}

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C¹₆ = 2 . 6 = 12.

Ta có: (x³ + )⁸= C^k₈ x^{3(8 – k)} ()^k = C^k₈ x^{24 – 4k}

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 – 4k} không chứa x khi và chỉ khi

⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.