Cho (O;R) và 1 cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ 1 điểm M trên d và ở ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D.

a, C/m A, O, H, M cùng nằm trên 1 đường tròn

b, C/m AC // MO và MD = OD

c, Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ: \(MA^2=ME.MF\)

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A(AB>AC), đường cao AH. Trên nửa mp bờ BC chứa điểm A, vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. C/m :

a, Tứ giác AFHE là hình chữ nhật

b, Tứ giác BEFC nội tiếp

c, AE.AB=AF.AC

d, FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

f, Chứng tỏ: BH.HC=4.OE.OF

Cho nửa (O), đường kính AB. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn, AC cắt tiếp tuyến Bt tại I

a, C/m \(\Delta ABI\) vuông cân

b, Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC.AI=AD.Ạ

c, C/m tứ giác JDCI nội tiếp

d, Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH\(\perp\)AB. C/m AK đi qua trung điểm của DH

Từ 1 điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy C và kẻ CD\(\perp\)AB, CE\(\perp\)MA, CF\(\perp\)MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF.

a, C/m tứ giác AECD nội tiếp

b, C/m: \(CD^2=CE.CF\)

c, C/m Tia đối của tia CD là phân giác của \(\widehat{FCE}\)

d, C/m IK//AB

3, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\) (I)

(ĐKXĐ: x+1 \(\ne\)0 ; y+4\(\ne\)0)

Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=a\) ; \(\dfrac{1}{y+4}=b\)

hệ (I) trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=4\\2a-5b=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}6a-4b=8\\6a-15b=27\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}11b=-19\\3a-2b=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{-19}{11}\\3a-2.\dfrac{-19}{11}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{-19}{11}\\a=\dfrac{2}{11}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{11}\\\dfrac{1}{y+4}=\dfrac{-19}{11}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+1\right)=11x\\-19\left(y+4\right)=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2=11x\\-19y-76=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-11x=-2\\-19y=87\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-9x=-2\\y=\dfrac{-87}{19}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{9}\left(tm\right)\\y=\dfrac{-87}{19}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

- Thay x = \(\dfrac{2}{9}\) vào x+1 \(\ne\)0 có:

\(\dfrac{2}{9}+1\ne0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{11}{9}\ne0\) (luôn đúng)

- Thay y = \(\dfrac{-87}{19}\) vào y+4 \(\ne\) 0có:

\(\dfrac{-87}{19}+4\ne0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{-11}{19}\ne0\) (luôn đúng)

vậy ...

2, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x+2y}+\dfrac{1}{y+2x}=3\\\dfrac{4}{x+2y}-\dfrac{3}{y+2x}=1\end{matrix}\right.\) (I)

(ĐKXĐ: x+2y \(\ne\)0 ; 2x+y\(\ne\)0)

Đặt \(\dfrac{1}{x+2y}=a\) ; \(\dfrac{1}{y+2x}=b\)

Hệ (I) trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=3\\4a-3b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}4a+2b=6\\4a-3b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}5b=5\\2a+b=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\2a+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\left(tm\right)\\a=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+2y}=1\\\dfrac{1}{y+2x}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\y+2x=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\2x+y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2\\2x+y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}3y=1\\x+2y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\x+2.\dfrac{1}{3}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\left(tm\right)\\y=\dfrac{1}{3}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

- Thay x = \(\dfrac{1}{3}\) ; y = \(\dfrac{1}{3}\) vào x+2y \(\ne\)0 có:

\(\dfrac{1}{3}+2.\dfrac{1}{3}\ne0\) \(\Leftrightarrow\) \(1\ne0\) (luôn đúng)

- Thay x = \(\dfrac{1}{3}\) ; y = \(\dfrac{1}{3}\) vào y+2x\(\ne\)0 có:

\(\dfrac{1}{3}\) +2.\(\dfrac{1}{3}\)\(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) \(1\ne0\)( luôn đúng)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

1, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\) (I) (ĐKXĐ: x, y \(\ne\)0)

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a\) ; \(\dfrac{1}{y}=b\)

Hệ pt (I) trở thành :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{12}\\8a+15b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}8a+8b=\dfrac{2}{3}\\8a+15b=1\end{matrix}\right.\) \(\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}-7b=\dfrac{-1}{3}\\a+b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\a+\dfrac{1}{21}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\left(tm\right)\\a=\dfrac{1}{28}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{28}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=28\left(tm\right)\\y=21\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)