Giải:

Gọi ba số tự nhiên phải tìm là \(a,b,c\)

Không giảm tính tổng quát ta giả sử \(1\le a< b< c\)

Ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=k\left(1\right)\) với \(k\in N\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}\le1;\dfrac{1}{b}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{c}\le\dfrac{1}{3}\) nên:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=1\dfrac{5}{6}>1\)

\(\Rightarrow k=1\) do đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\left(2\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{c}\) nên \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{3}\Rightarrow a< 3\)

Mặt khác \(\dfrac{1}{a}< 1\) nên \(a>1\) suy ra \(a=2\)

Thay vào \(\left(2\right)\) ta được: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\)

Lại tìm khoảng giá trị của \(b\) ta được:

\(2< b< 4\Rightarrow b=3\) từ đó suy ra \(b=6\)

Vậy...