bài 1 b

Theo đề bài ta có :

S - P = \(\left(a^3_1+a^3_2+....+a^3_{2013}\right)-\left(a_1+a_2+....+a_{2013}\right)\)

= \(\left(a^3_1-a_1\right)+\left(a^3_2-a_2\right)+....\left(a^3_{2013}-a_{2013}\right)\)

= \(a_1\left(a^2_1-1\right)+a_2\left(a^2_2-1\right)+....a_{2013}\left(a^2_{2013}-1\right)\)

= \(a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)+a_2\left(a_2-1\right)\left(a_2+1\right)+....+a_{2013}\left(a_{2013}-1\right)\left(a_{2013}+1\right)\)

Dễ chứng minh \(a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)⋮6\) các số hạng còn lại cũng chứng minh tương tự

Suy ra S - P \(⋮\) 6

Nếu \(P⋮̸6\) thì \(S⋮̸6\) do đó \(S⋮6\) khi và chỉ khi P chia hết cho 6

Hình vẽ không chính xác lắm thông cảm

a) Vì OM song song với AB nên \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{OD}{BD}\)

Vì OM song song với CD nên \(\dfrac{OM}{CD}=\dfrac{OA}{AC}\)

Vì AB song song với CD nên \(\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\) nên \(\dfrac{OM}{CD}=\dfrac{OB}{BD}\)

Do đó \(\dfrac{OM}{AB}+\dfrac{OM}{CD}=\dfrac{OD}{BD}+\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OD}{BD}+\dfrac{OB}{BD}=1\)

Hay \(OM\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\right)=1\) suy ra \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{OM}\)

Lại có ON song song với CD nên \(\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{OB}{BD}\) mà \(\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{OM}{CD}\) nên \(\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{OM}{CD}\) hay OM = ON = \(\dfrac{1}{2}\)MN

Suy ra \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}MN}=\dfrac{2}{MN}\)

b) Dễ chứng minh S_ADC = S_BDC

Mà S_ADC = S_AOD+S_OCD và S_BDC = S_BOC+S_OCD

Suy ra S_AOD = S_BOC

Lại có \(\dfrac{S_{AOD}}{S_{AOB}}=\dfrac{OD}{OB}\) và \(\dfrac{S_{OCD}}{S_{BOC}}=\dfrac{OD}{OB}\)

Nên \(\dfrac{S_{AOD}}{S_{AOB}}=\dfrac{S_{OCD}}{S_{BOC}}\) \(\Leftrightarrow\) \(S_{AOD}.S_{BOC}=S_{AOB}.S_{OCD}\)

Hay \(S_{AOD}=S_{BOC}=\sqrt{S_{AOB}.S_{OCD}}=\sqrt{a^2.b^2}=ab\)

Khi đó \(S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{BOC}+S_{AOB}+S_{OCD}=ab+ab+a^2+b^2=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)

Tỉ số phần trăm của số hs khá và số hs cả lớp là :
( 12 : 40 ) . 100 = 30%
Tỉ số phần trăm của số hs giỏi và số hs cả lớp là :
( 8 : 40 ) . 100 = 20 %