Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho ba số nguyên \(a^k+bc,b^k+ac,c^k+ab\) có ít nhất một ước nguyên tố chung.

Tìm tất cả các hàm số f: Z --> Z thoả mãn \(f\left(f\left(x\right)+yf\left(x^2\right)\right)=x+x^2f\left(y\right)\) với mọi x,y thuộc Z

Giải phương trình lượng giác:\(\sqrt{4^n.cos^{4n}x+3}+\sqrt{4^n.sin^{4x}x+3}=4\)

Tìm hai số tự nhiên biết: 2/3 số thứ nhất bằng 3/4 số thứ 2 và hiệu các bình phương của chúng bằng 68.

CÁC BN GIÚP MIK VS!!!

\(\left(x-2\right)\left(x^2+6x-11\right)^2=\left(5x^2-10x=1\right)^2\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4\sqrt{xyz}\\\frac{1}{2\sqrt{x}+1}+\frac{1}{2\sqrt{y}+1}+\frac{1}{2\sqrt{z}+1}=\frac{3\sqrt{xyz}}{x+y+z}\end{matrix}\right.\)

Cho dãy số \(\left(a_n\right)\) xác định bởi \(a_o=\frac{1}{2}\) và \(a_{n+1}=\frac{4n+5}{4n+6}a_n;\forall n\ge0.\) Đặt \(b_n=\sum\limits^n_{i=0}a_i.\)

Tính giới hạn \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{b_n}{n}.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{4x^2+8x+5}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2-8x+5}}=\frac{2}{\sqrt{\left(x+y\right)^2+1}}\\\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{y-3}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=1.\)

Chứng minh rằng: \(8abc-8\le\left(ab+bc+ca+1\right)^2\)