HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
\(\Delta=\left(m-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow PT\) luôn có 2 nghiệm \(x1;x2\)
\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)\)
Theo viet ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) thay vào \(P:P=m^2-2\left(m-1\right)+4m=m^2+2m+2\)
\(=\left(m+1\right)^2+1\ge1\) Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=-1\)
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+4xy-6y^2=18\left(1\right)\\18x^2+18xy+9y^2=18\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy \(PT\left(2\right)\) trừ đi \(PT\left(1\right)\) ta có : \(16x^2+14xy+15y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x\right)^2+2.4x.\dfrac{7}{4}y+\dfrac{49}{16}y^2+\dfrac{191}{16}y^2=0\Leftrightarrow\left(4x+\dfrac{7}{4}y\right)^2+\dfrac{191}{16}y^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\left(loại\right)\)
Vậy hệ PT vô nghiệm
\(\left(x+10\right)^2\ge4.x.10=40x\Rightarrow P\le\dfrac{1}{40}\)
\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
\(=\left(x^2-x\sqrt{y}+\dfrac{1}{4}y\right)+\left(x-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)+\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{3}{4}y-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}+\dfrac{1}{12}\right)-\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\left(y-\dfrac{2}{3}\sqrt{y}+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{2}{3}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(\sqrt{y}-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\ge\dfrac{2}{3}\) Đạt GTNN là \(\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}\sqrt{y}+\dfrac{1}{2}=0\\\sqrt{y}-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)
Ta có :\(\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(4a^2+4ab+b^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\left(2a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{2a+b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) (Cosi)
Tương tự cộng lại ta được :
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{3}\sqrt{3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(P=2a+\dfrac{9}{a}+3b+\dfrac{2}{b}=\left(a+\dfrac{9}{a}\right)+\left(2b+\dfrac{2}{b}\right)+\left(a+b\right)\)
\(\ge2\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}+2\sqrt{2b.\dfrac{2}{b}}+=6+4+4=14\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(PT\Leftrightarrow2x^2-2xy+2y^2-4x+2y=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2xy+2y^2-4x+2y+5=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=5=0^2+1^2+2^2\)
Tự xét tự lm tiếp
Ta có :
\(\dfrac{a^2}{a^2+3}>\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{b^2}{b^2+2}>\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{c^2}{c^2+1}>\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{4}{a^2+4+c^2}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+4}\)
Cộng vế với vế lại ta được :
\(P>\dfrac{a^2+b^2+c^2+4}{a^2+b^2+c^2+4}=1\) (đpcm)
Một cái nồi chứa nước ở 250C , khối lượng của cả nước và nồi là \(2kg\). Nếu đổ thêm vào nồi 1 lít nước sôi thì nhiệt độ nước trong nồi là 400C. Hỏi phải đổ thêm vào nồi nước ban đầu bao nhiêu lít nước sôi để nhiệt độ nồi nước là 600C ?