Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

(x-y)² + 1 = xy

(7+4)x2+1=23

(6+2)x2+1=17

=> ? = (5+8)x2+1=27

x^2 + 10 ≤ 2x^2+1/x^2 -8

<=> x^2 + 10   -    2x^2+1/x^2 -8 ≤ 0

<=> (x^2+10)(x^2-8)-2x^2+1/x^2-8 ≤ 0

<=> x^4+2x^2-80-2x^2+1/x^2-8 ≤ 0

<=> x^4-81/x^2-8 ≤ 0

<=> (x^2+9)(x^2-9)/x^2-8 ≤ 0

<=> x^2-9/x^2-8 (do x^2 + 9 >0)

<=> x^2-9≤0, x^2-8>0

<=> -3≤x≤3, x<-2√2 hoặc x>2√2

<=> -3≤x<-2√2 hoặc 2√2<x≤3

=> bpt có 2 nghiệm nguyên là -3, 3

Có xy ≤ 1/4 (x+y)^2

=> 3xy ≤ 3/4 (x+y)^2

=> T = x^2-xy+y^2 = (x+y)^2 - 3xy ≥ (x+y)^2 - 3/4 (x+y)^2 = 1/4 (x+y)^2

=10201/4

Dấu = xảy ra khi x=y=101/2

T = (x+y)^2 - 3xy <= (x+y)^2 = 101^2 = 10201

Dấu = xảy ra khi 1 số = 0, 1 số = 101

gọi chiều rộng = a     => chiều dài = a+10

Áp dụng định lý Pytago => a^2 + (a+10)^2 = độ dài đường chéo ^2 = 1300

=> 2a^2 +20a +100=1300

=> a^2 +10a-600 = 0

=> (a+30)(a-20) =0

=> a=20

=> chu vi sân bóng = 2(a+a+10) = 2.50 =100

10x²/x²-100 < 10

<=> 10x²/x²-100  - 10 <0

<=> 10x^2 - 10(x^2-100)/x^2 - 100 <0

<=> 1000/x^2-100 <0

<=> x^2 - 100 <0

<=> x^2 <100

<=> 0 <x <10

=> x nguyên dương => x= 1,2,3,...,9

=> tổng các nghiệm nguyên dương của bpt là 1+2+3+...+9=9.10/2 = 45

Có: x²+y²+z²≥1/3 (x+y+z)²  =4/3

=> x²+y²+z² -3 >= 4/3 - 3 = -5/3

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=2/3

318

m=3/2