a) Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BEC\) có:

\(BD=BC\) (giả thiết)

\(\widehat{DBE}=\widehat{CBE}\) (do \(BE\) là tia phân giác \(\widehat{B}\))

\(BE\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BED=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)

b) Vì \(\Delta BED=\Delta BEC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow ED=EC\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta EDC\) cân tại \(E\) 

Mà \(EK\) là đường trung tuyến \(\Delta EDC\)

\(\Rightarrow EK\) cũng là đường trung trực \(\Delta EDC\)

\(\Rightarrow EK\perp DC\)

c) Giả sử \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)

Ta có: \(\Delta DBC\) vuông cân tại \(B\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{BCD}=45^o\)

Xét \(\Delta ADH\left(\widehat{H}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\) (\(2\) góc phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=90^o-45^o=45^o\)

d) Ta có: \(BC=BD\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta BCD\)  cân tại \(B\)

Mà \(BE\) là đường phân giác \(\widehat{B}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow BE\) cũng là đường cao \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow BE\perp DC\)

Lại có: \(EK\perp DC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow B,K,E\) thẳng hàng

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BC^2=9^2=81\\AC^2+AB^2=8^2+4^2=80\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC^2\ne AB^2+AC^2\) (vì \(81\ne80\))

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABC\) không phải là tam giác vuông.

Câu 1:

a) \(-\dfrac{4}{15}+\dfrac{9}{15}=\dfrac{-4+9}{15}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)

b) \(\dfrac{1}{4}+\left(-\dfrac{7}{5}\right)=\dfrac{5}{20}-\dfrac{28}{20}=\dfrac{5-28}{20}=-\dfrac{23}{30}\)

c) \(-2+\dfrac{5}{8}=-\dfrac{16}{8}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{-16+5}{8}=-\dfrac{11}{8}\)

d) \(\dfrac{11}{13}+\left(-\dfrac{23}{39}\right)=\dfrac{33}{39}-\dfrac{23}{39}=\dfrac{33-23}{39}=\dfrac{10}{39}\)

Câu 2:

a) \(-\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{12}=\dfrac{-5+1+7}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)

b) \(\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{3}+\left(-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{18}{45}+\dfrac{60}{45}-\dfrac{5}{45}=\dfrac{18+60-5}{45}=\dfrac{73}{45}\)

c) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{35}{70}+\dfrac{10}{70}+\dfrac{14}{70}=\dfrac{35+10+14}{70}=\dfrac{59}{70}\)

d) \(\dfrac{7}{8}+\dfrac{5}{16}+\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{14}{16}+\dfrac{5}{16}-\dfrac{12}{16}=\dfrac{14+5-12}{16}=\dfrac{7}{16}\)

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

\(AB=AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(AM\) là cạnh chung

\(BM=CM\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)

b) Xét \(\Delta BHM\left(\widehat{H}=90^o\right)\) và \(\Delta CKM\left(\widehat{K}=90^o\right)\) có:

\(BM=CM\) (giả thiết)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\Rightarrow\Delta BHM=\Delta CKM\left(ch.gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=CK\) (\(2\) cạnh tương ứng)

c) Vì \(MK\perp AC\) (giả thiết)

Mà \(BD\perp AC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow MK//BD\) (từ vuông góc đến song song)

\(\Rightarrow\widehat{IBM}=\widehat{KMC}\) (\(2\) góc đồng vị) (1)

Xét \(\Delta BHM\left(\widehat{H}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{HBM}+\widehat{IMB}=90^o\) (\(2\) góc phụ nhau)

Xét \(\Delta CKM\left(\widehat{K}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{KCM}+\widehat{KMC}=90^o\) (\(2\) góc phụ nhau)

Mà \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{KMC}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{IBM}=\widehat{IMB}\) 

\(\Rightarrow\Delta IBM\) cân tại \(I\)

\(PT\Leftrightarrow2022x^2+2022x-2021x-2021=0\)

\(\Leftrightarrow2022x\left(x+1\right)-2021\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2022x-2021\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\2022x-2021=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{2021}{2022}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(S=\left\{-1;\dfrac{2021}{2022}\right\}\)

Xét hai trường hợp:

Trường hợp \(1:\) 

\(\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\ge abc\)

Trường hợp \(2:\) 

Trong ba số \(\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|\) có ít nhất một số nhỏ hơn \(1.\) Giả sử \(\left|c\right|< 1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2\ge2\left|ab\right|\ge\left|abc\right|\ge abc\)

Đề bài không cho điều kiện?

e) \(\left(12-n\right)⋮\left(8-n\right)\)

\(\Rightarrow\left(4+8-n\right)⋮\left(8-n\right)\)

\(\Rightarrow4⋮\left(8-n\right)\)

\(\Rightarrow\left(8-n\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{7;9;6;10;4;12\right\}\)

f) \(\left(27-5n\right)⋮\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(27-5n\right)+5\left(n+3\right)\right]⋮\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow42⋮\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\inƯ\left(42\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6;\pm7;\pm14;\pm21;\pm42\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-2;-4;-1;-5;0;-6;3;-9;4;-10;11;-17;18;-24;39;-45\right\}\)

Số con thỏ còn lại sau khi người đó bán \(450\) con thỏ là:

\(1130-450=680\) (con thỏ)

Mỗi chuồng có số con thỏ là:

\(680:5=136\) (con thỏ)

\(\left(2n+3\right)⋮\left(3n+1\right)\)

\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)⋮\left(3n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(6n+9\right)⋮\left(3n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(6n+2+7\right)⋮\left(3n+1\right)\)

\(\Rightarrow7⋮\left(3n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(3n+1\right)\inƯ\left(7\right)=\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;-\dfrac{2}{3};2;-\dfrac{8}{3}\right\}\)

Mà \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{0;2\right\}\) thì \(\left(2n+3\right)⋮\left(3n+1\right)\)

Gọi số học sinh mỗi khối \(6;7;8\) lần lượt là \(x,y,z\) (\(x,y,z\) nguyên dương)

Ta có: \(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{12};x-y=66\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{15}-\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{12}=\dfrac{x-z}{15-12}=\dfrac{66}{3}=22\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{15}=22\Leftrightarrow x=330\\\dfrac{y}{14}=22\Leftrightarrow y=308\\\dfrac{z}{12}=22\Leftrightarrow z=264\end{matrix}\right.\)

Vậy số học sinh khối \(7\) là \(308\) học sinh.