) a.Vì P∈Trung trực của BC
⇒PB=PC⇒PB=PC
Ta có : AP là phân giác ˆBAC,PH⊥AB,PK⊥AC⇒PH=PKBAC^,PH⊥AB,PK⊥AC⇒PH=PK
Mà ˆPHB=ˆPKC=900PHB^=PKC^=900
⇒ΔPBH=ΔPCK⇒ΔPBH=ΔPCK (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒BH=CK⇒BH=CK
b ) Ta có : PH=PK,ˆPHA=ˆPKA=900PH=PK,PHA^=PKA^=900
⇒ΔPHA=ΔPKA⇒ΔPHA=ΔPKA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒AH=AK⇒AH=AK
⇒ΔAHK⇒ΔAHK cân tại A
Mà AP là phân giác ^A
⇒AP⊥HK⇒AP⊥HK
Qua B kẻ BE // AK , E∈HKE∈HK
⇒ˆBEH=ˆAKH⇒BEH^=AKH^
Do ΔAHKΔAHK cân tại A ⇒ˆAKH=ˆAHK⇒AKH^=AHK^
⇒ˆBEH=ˆBHE⇒BH=BE⇒BEH^=BHE^⇒BH=BE
Mà BH=CK⇒BE=CKBH=CK⇒BE=CK
Lại có BE // CK => ˆEBM=ˆMCKEBM^=MCK^
Do M là trung điểm BC ⇒MB=MC⇒ΔEBM=ΔKCM(c.g.c)⇒MB=MC⇒ΔEBM=ΔKCM(c.g.c)
⇒ˆBME=ˆKMC⇒BME^=KMC^
⇒ˆEMK=ˆBME+ˆBMK=ˆCMK+ˆBMK=ˆBMC=1800⇒EMK^=BME^+BMK^=CMK^+BMK^=BMC^=1800
⇒E,M,K⇒E,M,K thẳng hàng
⇒H,M,K⇒H,M,K thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng
c ) Do PA⊥HKPA⊥HK ( câu a )
⇒AP⊥HK=O⇒AP⊥HK=O
Kết hợp AH = AK ⇒O⇒O là trung điểm HK
⇒OH=OK⇒OH=OK
⇒OA2+OP2+OH2+OK2=OA2+OP2+OH2+OH2⇒OA2+OP2+OH2+OK2=OA2+OP2+OH2+OH2
=(OA2+OH2)+(OP2+OH2)=(OA2+OH2)+(OP2+OH2)
=AH2+PH2=AH2+PH2
=AP2,(PH⊥AB)