Chủ đề / Chương

Bài học

Chủ đề

Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.28 (Sách bài tập trang 186)

Tính các tích phân sau : a) intlimits^1_0left(y-1right)^2sqrt{y}dy, đặt tsqrt{y} b) intlimits^2_1left(x^2+1right)sqrt[3]{left(z-1right)^2}dz, đặt usqrt[3]{z-1} c) intlimits^e_1dfrac{sqrt{4+5ln x}}{x}dx d) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0left(cos^5varphi-sin^5varphiright)dvarphi e) intlimits^{pi}_0cos^3alphacos3alpha dalpha
Đọc tiếp
Hướng dẫn giải

Câu a)

Đặt \(y=\sqrt{t}\Rightarrow I_1=\int ^{1}_{0}(y-1)^2\sqrt{y}dy=\int ^{1}_{0}(t^2-1)^2td(t^2)\)

\(\Leftrightarrow I_1=2\int^{1}_{0}(t^2-1)^2t^2dt=2\int ^{1}_{0}(t^6-2t^4+t^2)dt\)

\(=2\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{t^7}{7}-\frac{2t^5}{5}+\frac{t^3}{3} \right )=\frac{16}{105}\)

b) Đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\Rightarrow z=u^3+1\Rightarrow I_2=\int ^{1}_{0}[(u^3+1)^2+1]u^2d(u^3+1)\)

\(\Leftrightarrow I_2=3\int ^{1}_{0}[(u^3+1)^2+1]u^4du=3\int ^{1}_{0}(u^{10}+2u^7+2u^4)du\)

\(=3\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{x^{11}}{11}+\frac{x^8}{4}+\frac{2x^5}{5} \right )=\frac{489}{220}\)

(Trả lời bởi Akai Haruma)
Thảo luận (2)

Bài 3.29 (Sách bài tập trang 186)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)

b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)

Hướng dẫn giải

a)

Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)

b)

\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)

(Trả lời bởi Akai Haruma)
Thảo luận (3)

Bài 5 (SGK trang 126)

Tính :

a) \(\int\limits^3_0\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx\)

b) \(\int\limits^{64}_1\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx\)

c) \(\int\limits^2_0x^2e^{3x}dx\)

d) \(\int\limits^{\pi}_0\sqrt{1+\sin2x}dx\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 5 trang 127 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

(Trả lời bởi Quang Duy)
Thảo luận (1)

Bài 3.27 (Sách bài tập trang 185)

Tính các nguyên hàm sau : a) intleft(2x-3right)sqrt{x-3}dx, đặt usqrt{x-3} b) intdfrac{x}{left(1+x^2right)^{dfrac{3}{2}}}dx , đặt usqrt{x^2+1} c) intdfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx, đặt ue^{2x}+1 d) intdfrac{1}{sin x-sin a}dx e) intsqrt{x}sinsqrt{x}dx, đặt tsqrt{x} g) int xlndfrac{x}{1+x}dx
Đọc tiếp
Hướng dẫn giải

a)

Đặt \(u=\sqrt{x-3}\Rightarrow x=u^2+3\)

\(I_1=\int (2x-3)\sqrt{x-3}dx=\int (2u^2+3)ud(u^2+3)=2\int (2u^2+3)u^2du\)

\(\Leftrightarrow I_1=4\int u^4du+6\int u^2du=\frac{4u^5}{5}+2u^3+c\)

b)

\(I_2=\int \frac{xdx}{\sqrt{(x^2+1)^3}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{(x^2+1)^2}}\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\). Khi đó:

\(I_2=\frac{1}{2}\int \frac{d(u^2)}{u^3}=\int \frac{udu}{u^3}=\int \frac{du}{u^2}=\frac{-1}{u}+c\)

c)

\(I_3=\int \frac{e^xdx}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1}\)

\(\Leftrightarrow I_3=\frac{1}{3}\ln |e^{2x}+1|+c=\frac{1}{2}\ln|u|+c\)

(Trả lời bởi Akai Haruma)
Thảo luận (3)

Bài 6 (SGK trang 126)

Tính : a) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0cos2x.sin^2dx b) intlimits^1_{-1}left|2^x-2^{-x}right|dx c) intlimits^2_1dfrac{left(x+1right)left(x+2right)left(x+3right)}{x^2}dx d) intlimits^2_0dfrac{1}{x^2-2x-3}dx e) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0left(sin x+cos xright)^2dx g) intlimits^{pi}_0left(x+sin xright)^2dx
Đọc tiếp
Hướng dẫn giải

a)

Ta có:

∫π20cos2xsin2xdx=12∫π20cos2x(1−cos2x)dx=12∫π20[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫π20(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]π20=−14.π2=−π8∫0π2cos⁡2xsin2xdx=12∫0π2cos⁡2x(1−cos⁡2x)dx=12∫0π2[cos⁡2x−1+cos⁡4x2]dx=14∫0π2(2cos⁡2x−cos⁡4x−1)dx=14[sin⁡2x−sin⁡4x4−x]0π2=−14.π2=−π8

b)

Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

∫1−1|2x−2−x|dx=−∫0−1(2x−2−x)dx+∫10(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)∣∣0−1+(2xln2+2−xln2)∣∣10=1ln2∫−11|2x−2−x|dx=−∫−10(2x−2−x)dx+∫01(2x−2−x)dx=−(2xln⁡2+2−xln⁡2)|−10+(2xln⁡2+2−xln⁡2)|01=1ln⁡2

c)

∫21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫21x3+6x2+11x+6x2dx=∫21(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]∣∣21=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2∫12(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫12x3+6x2+11x+6x2dx=∫12(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln⁡|x|−6x]|12=(2+12+11ln⁡2−3)−(12+6−6)=212+11ln⁡2

d)

∫201x2−2x−3dx=∫201(x+1)(x−3)dx=14∫20(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]∣∣20=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)∫021x2−2x−3dx=∫021(x+1)(x−3)dx=14∫02(1x−3−1x+1)dx=14[ln⁡|x−3|−ln⁡|x+1|]|02=14[1−ln⁡2−ln⁡3]=14(1−ln⁡6)

e)

∫π20(sinx+cosx)2dx=∫π20(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]∣∣π20=π2+1∫0π2(sinx+cosx)2dx=∫0π2(1+sin⁡2x)dx=[x−cos⁡2x2]|0π2=π2+1

g)

I=∫π0(x+sinx)2dx∫π0(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]∣∣π0+2∫π0xsinxdx+12∫π0(1−cos2x)dxI=∫0π(x+sinx)2dx∫0π(x2+2xsin⁡x+sin2x)dx=[x33]|0π+2∫0πxsin⁡xdx+12∫0π(1−cos⁡2x)dx

Tính :J=∫π0xsinxdxJ=∫0πxsin⁡xdx

Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x

Suy ra:

J=[−xcosx]∣∣π0+∫π0cosxdx=π+[sinx]∣∣π0=πJ=[−xcosx]|0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]|0π=π

Do đó:

I=π33+2π+12[x−sin2x2]∣∣π30=π33+2π+π2=2π3+15π6

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 126)

Tính : a) intleft(2-xright)sin xdx b) intdfrac{left(x+1right)^2}{sqrt{x}}dx c) intdfrac{3^{3x}+1}{e^x+1}dx d) intdfrac{1}{left(sin x+cos xright)^2}dx e) intdfrac{1}{sqrt{1+x}+sqrt{x}}dx g) intdfrac{1}{left(1+xright)left(2-xright)}dx
Đọc tiếp
Hướng dẫn giải

Giải bài 4 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

(Trả lời bởi Hai Binh)
Thảo luận (1)

Bài 2 (SGK trang 126)

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số \(f\left(x\right)\) trên một đoạn

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Lời giải:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên [a; b] , F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là ∫abf(x)dx.

Ta có: ∫abf(x)dx=F(x)ab=F(b)-F(a)

Ta gọi ∫ab là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

2.Các tính chất

1. ∫aaf(x)dx=0

2. ∫abf(x)dx=- ∫baf(x)dx

3. ∫bakf(x)dx=k. ∫baf(x)dx ( k là hằng số)

4. ∫ab[f(x)±g(x)]dx= ∫abf(x)dx± ∫abg(x)dx

5. ∫abf(x)dx= ∫acf(x)dx+ ∫abf(x)dx(a<c<b)

(Trả lời bởi LY VÂN VÂN)
Thảo luận (1)

Bài 1 (SGK trang 126)

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) trên một khoảng 

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa 

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Hỏi đáp Toán

(Trả lời bởi Hai Binh)
Thảo luận (1)

Bài 3 (SGK trang 126)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(1-2x\right)\left(1-3x\right)\)

b) \(f\left(x\right)=\sin4x\cos^22x\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1-x^2}\)

d) \(f\left(x\right)=\left(e^x-1\right)^3\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 3 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

(Trả lời bởi Hai Binh)
Thảo luận (1)

Bài 7 (SGK trang 126)

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2\left(1-x\right)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành 

Hướng dẫn giải

a)

Ta có:

∫π20cos2xsin2xdx=12∫π20cos2x(1−cos2x)dx=12∫π20[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫π20(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]π20=−14.π2=−π8∫0π2cos⁡2xsin2xdx=12∫0π2cos⁡2x(1−cos⁡2x)dx=12∫0π2[cos⁡2x−1+cos⁡4x2]dx=14∫0π2(2cos⁡2x−cos⁡4x−1)dx=14[sin⁡2x−sin⁡4x4−x]0π2=−14.π2=−π8

b)

Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

∫1−1|2x−2−x|dx=−∫0−1(2x−2−x)dx+∫10(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)∣∣0−1+(2xln2+2−xln2)∣∣10=1ln2∫−11|2x−2−x|dx=−∫−10(2x−2−x)dx+∫01(2x−2−x)dx=−(2xln⁡2+2−xln⁡2)|−10+(2xln⁡2+2−xln⁡2)|01=1ln⁡2

c)

∫21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫21x3+6x2+11x+6x2dx=∫21(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]∣∣21=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2∫12(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫12x3+6x2+11x+6x2dx=∫12(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln⁡|x|−6x]|12=(2+12+11ln⁡2−3)−(12+6−6)=212+11ln⁡2

d)

∫201x2−2x−3dx=∫201(x+1)(x−3)dx=14∫20(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]∣∣20=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)∫021x2−2x−3dx=∫021(x+1)(x−3)dx=14∫02(1x−3−1x+1)dx=14[ln⁡|x−3|−ln⁡|x+1|]|02=14[1−ln⁡2−ln⁡3]=14(1−ln⁡6)

e)

∫π20(sinx+cosx)2dx=∫π20(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]∣∣π20=π2+1∫0π2(sinx+cosx)2dx=∫0π2(1+sin⁡2x)dx=[x−cos⁡2x2]|0π2=π2+1

g)

I=∫π0(x+sinx)2dx∫π0(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]∣∣π0+2∫π0xsinxdx+12∫π0(1−cos2x)dxI=∫0π(x+sinx)2dx∫0π(x2+2xsin⁡x+sin2x)dx=[x33]|0π+2∫0πxsin⁡xdx+12∫0π(1−cos⁡2x)dx

Tính :J=∫π0xsinxdxJ=∫0πxsin⁡xdx

Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x

Suy ra:

J=[−xcosx]∣∣π0+∫π0cosxdx=π+[sinx]∣∣π0=πJ=[−xcosx]|0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]|0π=π

Do đó:

I=π33+2π+12[x−sin2x2]∣∣π30=π33+2π+π2=2π3+15π6



(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Thảo luận (1)
Bài trước
Bài tiếp theo