\(y=\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-2+1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}\)
- Tiệm cận đứng $x = 2$ (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=-\infty\) )
- Tiệm cận ngang $y = 1$ (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=1\))
Với điểm $M(x,y)$ bất kỳ thì:
- khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là |x - 2|
- khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = 1 là |y - 1|.
Vậy điểm M nằm trên đồ thị và tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất phải thỏa mãn:
\(\begin{cases}y=1+\frac{1}{x-2}\\d=\left|x-2\right|+\left|y-1\right|\rightarrow Min\end{cases}\)
Từ phương trình đầu ta suy ra: \(y-1=\frac{1}{x-2}\) thay vào hàm tổng khoảng cách ở dưới ta có:
\(d=\left|x-2\right|+\left|y-1\right|\rightarrow Min\)
\(\Rightarrow d=\left|x-2\right|+\frac{1}{\left|x-2\right|}\rightarrow Min\)
Theo Cô-si ta có
\(d=\left|x-2\right|+\frac{1}{\left|x-2\right|}\ge2\sqrt{\left|x-2\right|.\frac{1}{\left|x-2\right|}}=2\) (bằng khi \(\left|x-2\right|=\frac{1}{\left|x-2\right|}\))
Vậy d nhỏ nhất khi \(\left|x-2\right|=\frac{1}{\left|x-2\right|}\), hay là \(\left(x-2\right)^2=1\)
=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=3\\x=1\end{array}\right.\)
Với $x = 3$ thì \(y=1+\frac{1}{3-2}=2\) ta có M(3;2).
Với $x = 1$ thì \(y=1+\frac{1}{1-2}=0\) ta có M(1; 0).
Đang tải dữ liệu ...