Bài 4: Đường tiệm cận

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 4: Đường tiệm cận

Câu 6.

Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x-2}\). Tìm điểm M thuộc độ thị hàm số sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất?

  1. $M(0 ; 0)$.
  2. $M(3; 2)$ hoặc $M(1; 0)$.
  3. $M(2 ; 1)$.
  4. Không có.

Hướng dẫn giải:

\(y=\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-2+1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}\)

- Tiệm cận đứng $x = 2$ (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=-\infty\) )

- Tiệm cận ngang $y = 1$ (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=1\))

> ^ 2 O 1 y = 1 x = 2

Với điểm $M(x,y)$ bất kỳ thì:

- khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là |x - 2| 

- khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = 1 là |y - 1|.

Vậy điểm M nằm trên đồ thị và tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất phải thỏa mãn:

\(\begin{cases}y=1+\frac{1}{x-2}\\d=\left|x-2\right|+\left|y-1\right|\rightarrow Min\end{cases}\)

Từ phương trình đầu ta suy ra: \(y-1=\frac{1}{x-2}\) thay vào hàm tổng khoảng cách ở dưới ta có:

    \(d=\left|x-2\right|+\left|y-1\right|\rightarrow Min\)

   \(\Rightarrow d=\left|x-2\right|+\frac{1}{\left|x-2\right|}\rightarrow Min\)

Theo Cô-si ta có 

\(d=\left|x-2\right|+\frac{1}{\left|x-2\right|}\ge2\sqrt{\left|x-2\right|.\frac{1}{\left|x-2\right|}}=2\) (bằng khi \(\left|x-2\right|=\frac{1}{\left|x-2\right|}\))

Vậy d nhỏ nhất khi  \(\left|x-2\right|=\frac{1}{\left|x-2\right|}\), hay là \(\left(x-2\right)^2=1\)

=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=3\\x=1\end{array}\right.\)

Với $x = 3$ thì \(y=1+\frac{1}{3-2}=2\) ta có M(3;2).

Với $x = 1$ thì \(y=1+\frac{1}{1-2}=0\) ta có M(1; 0).

Câu 10.

Cho hàm số \(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}\) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây sai?

  1. Tâm đối xứng của (C) : \(I\left(-4;-5\right)\).
  2. Tích số khoảng cách từ một điểm \(M\in\left(C\right)\) đến hai tiệm cận bằng \(3\sqrt{2}\).
  3. Tích số : \(y_{CĐ}.y_{CT}=1\).
  4. Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right)\in\left(C\right):x-3y+3=0\).

Hướng dẫn giải:

\(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}=x-1+\frac{6}{x+4}\)

Tiệm cận đứng \(x+4=0\)

Tiệm cận xiên \(y=x-1\)

\(y'=\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)^2}\). Phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm \(x_1+x_2=-8;x_1.x_2=10\)

Giao điểm tiệm cận là tâm đối xứng của (C) : \(I\left(-4;-5\right)\)

\(M\left(x_0;x_0-1+\frac{6}{x_0+4}\right)\in\left(C\right)\)

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : \(\left|t_1\right|=\left|x_0+4\right|\)

Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên : \(\left|t_2\right|=\frac{\left|x_0-x_0+1-\frac{6}{x_0+4}-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}\left|x_0+4\right|}\)

\(\Rightarrow\left|t_1\right|.\left|t_2\right|=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\).

Ta có nhận xét: giá trị \(y=\frac{u}{v}\) tại các điểm cực trị là \(y_{ct,cđ}=\frac{u'}{v'}\) . Thật vậy, tại các điểm cực trị thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay \(v.u'=u.v'\), hay \(v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y=\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\).

Vì \(\frac{u'}{v'}=2x+3\Rightarrow y_{CĐ}=2x_1+3\)

                           \(y_{CT}=2x_2+3\)

\(y_{CĐ}.y_{CT}=4x_1x_2+6\left(x_1+x_2\right)+9=4.10+6\left(-8\right)+9=1\).

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...