Xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình theo thứ tự là \(2x-y+z+1=0;x+y-z-2=0\). Tìm số đo độ của góc giữa d và trục Oz ?
\(0^0\) \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) Hướng dẫn giải:Lấy 2 điểm A, B thuộc d rồi xác định vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) của d, sau đó tính cos của góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và trục Oz (Trục Oz có vecto là (0;0;1)).
Lấy điểm A thuộc d như sau: cho y=0, ta tìm tìm x, z :
\(\begin{cases}2x+z+1=0\\x-z-2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\z=\frac{-5}{3}\end{cases}\)
Vậy \(A\left(\frac{1}{3};0;\frac{-5}{3}\right)\)
Lấy điểm B thuộc d như sau: cho z=-2, tìm x, y:
\(\begin{cases}2x-y-1=0\\x+y=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{-1}{3}\end{cases}\)
Vậy \(B\left(\frac{1}{3};\frac{-1}{3};-2\right)\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3};\frac{-1}{3}-0;-2+\frac{5}{3}\right)=\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)=\frac{-1}{3}\left(0;1;1\right)\)
Lây vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_d}=\left(0;1;1\right)\)
\(\cos\left(\overrightarrow{u_d},Oz\right)=\frac{\overrightarrow{u_d}.\left(0;0;1\right)}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{\left(0;0;1\right)}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\left(0\right)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy góc giữa d và Oz là \(45^0\).