Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left(1;1;1\right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng
\(x+y-z=2\) và \(x-y+z=1\).
\(x+y+z=3\) \(y+z=2\) \(x+z=2\) \(2y-z-x=0\) Hướng dẫn giải:Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng đã cho là:
\(\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;-1\right)\) và \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;1\right)\)
Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng đã cho có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow{n_1}\) , \(\overrightarrow{n_2}\) và có vecto pháp tuyến
\(\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-1\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-2;-2\right)=-2.\left(0;1;1\right)\)
Do đó phương trình cần tìm có dạng \(y+z+D=0.\)
Điều kiện mặt phẳng qua \(A\left(1;1;1\right)\) cho \(2+D=0\Leftrightarrow D=-2.\)
Đáp số: \(y+z-2=0\Leftrightarrow y+z=2.\)