Trong hệ tọa độ Oxyz có \(A\left(0;0;0\right)\), \(B\left(1;0;0\right)\), \(D\left(0;1;0\right)\), \(A'\left(0;0;1\right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính khoảng cách \(A'C\) và MN.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua chứa A'C và song song MN.
Khi đó d(A'C,MN) = d(M,(P)).
Ta có C( 1; 1; 0 ), \(M\left(\frac{1}{2};0;0\right)\), \(N\left(\frac{1}{2};1;0\right)\).
\(\overrightarrow{A'C}=\left(1;1-1\right),\overrightarrow{MN}=\left(0;1;0\right)\).
\(\left[\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{MN}\right]=\left(1;0;1\right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(0;0;1) và vtpt\(\overrightarrow{n}\left(1;0;1\right)\) có phương trình:
\(1\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+1\left(z-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x+z-1=0\).
\(d\left(A'C,MN\right)=d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\frac{1}{2}+0-1\right|}{\sqrt{1^2+0+1^2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
Cách khác \(d\left(A'C,MN\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{MN}\right]\overrightarrow{A'M}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{A'C,\overrightarrow{MN}}\right]\right|}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).