Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai ?
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\).\(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\).\(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) với \(a,b,c\ge0\).\(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\).Hướng dẫn giảiTrong 4 bất đẳng thức trên có 3 bất đẳng thức với biến, chỉ có một bất đẳng thức số. Có thể dùng máy tính cầm tay để kiểm tra tính đúng đắn của nó một cách dễ dàng. Sử dụng MTCT ta tính được \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}-2\sqrt[3]{3}\approx-0,08140820129< 0\) suy ra \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt[3]{3}\) do đó bất đẳng thức \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\) sai.
Chú ý:
1) Có thể không sử dụng MTCT chứng minh được \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt[3]{3}\) như sau (trong phòng thi các em học sinh không cần mất thời gian để làm như vậy):
Đặt \(a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}\) và \(b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\) thì \(a^3+b^3=6\). Cần kiểm tra \(a+b< 2\sqrt[3]{3}\) hay \(\left(a+b\right)^3< 24=4.6\), hay
\(\left(a+b\right)^3< 4\left(a^3+b^3\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3< 4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2< 4\left(a^2-ab+b^2\right)\) (do \(a,b>0\) )
\(\Leftrightarrow0< 3\left(a^2-2ab+b^2\right)=3\left(a-b\right)^2\) (đúng do \(a\ne b\)).
2) Cũng có thể chứng minh cả ba bất đẳng thức chứa biến còn lại đều đúng và suy ra bất đẳng thức số nói trong đề bài là sai (tuy nhiên học sinh cũng không ohair và không nên làm như vậy):
+ \(\left(ab+bc+ca\right)^2-3abc\left(a+b+c\right)=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2-abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}[\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2+\left(ca-ab\right)^2]\ge0\)
Suy ra \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) đúng.
+ \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-2\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)
\(=\)\(\left(a^2b-a^3\right)+\left(ab^2-b^3\right)+\left(b^2c-b^3\right)+\left(bc^2-c^3\right)+\left(c^2a-c^3\right)+\left(ca^2-a^3\right)\)
\(=a^2\left(b-a\right)+b^2\left(a-b\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-c\right)+a^2\left(c-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b^2-a^2\right)+\left(b-c\right)\left(c^2-b^2\right)+\left(c-a\right)\left(a^2-c^2\right)\)
\(=-\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)-\left(b-c\right)^2\left(b+c\right)-\left(c-a\right)^2\left(c+a\right)\le0\) (do giả thiết \(a,b,c\ge0\)). Suy ra
\(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) nếu \(a,b,c\ge0\).
+ Áp dụng bất đẳng thức Svac cho 3 số ta có \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)với \(x=1,y=a,z=a^2\) ta có \(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\).