Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(y=\sqrt{3}x^2\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^2}\left(0\le x\le2\right)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
\(\dfrac{4\pi+\sqrt{3}}{12}\) \(\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\) \(\dfrac{4\pi+2\sqrt{3}-3}{6}\) \(\dfrac{5\sqrt{3}-2\pi}{3}\) Hướng dẫn giải:Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường là
\(\sqrt{3}x^2=\sqrt{4-x^2}\Leftrightarrow3x^4=4-x^2\Leftrightarrow3x^4+x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(3x^2+4=0\right)\Leftrightarrow x=\pm1.\)
Giao điểm nằm trong góc phần tư (I) có hoành độ là \(x=1,\) vì vậy diện tích cần tính là
\(\int_0^1\sqrt{3}x^2\text{d}x+\int_1^2\sqrt{4-x^2}\text{d}x=I_1+I_2\)
Cách 1 (dùng MTCT): Tính tích phân \(\int^1_0\sqrt{3}x^2\text{d}x\) và lưu kết quả vào A; tính \(\int^2_1\sqrt{4-x^2}\text{d}x\) và lưu kết quả vào B.
Để kiểm tra đáp số \(\dfrac{4\pi+\sqrt{3}}{12}\) ta nhập biểu thức \(\dfrac{4\pi+\sqrt{3}}{12}-\left(\text{A}+\text{B}\right)\). Bấm máy thấy kết quả khác \(0,\) chứng tỏ đáp số này sai.
Tiếp tục kiểm tra các đáp số còn lại tới khi nào thấy máy hiện kết quả là \(0\) thì được đáp số đúng. Đáp số: \(\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\).
Cách 2 (đổi biến): \(I_1=\sqrt{3}\int_0^1x^2\text{d}x=\sqrt{3}.\dfrac{1}{3}.x^2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x^2|_0^1=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Đặt \(x=2\sin t,\left(-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì \(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4\cos^2t}=2\left|\cos t\right|=2\cos t\) (vì \(-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}\)); \(\text{d}x=2\cos t\text{d}t.\)
Đổi cận: \(x=1\Rightarrow\sin t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{6};x=2\Rightarrow\sin t=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}.\)
Nên \(I_2=\int_1^2\sqrt{4-x^2}dx=\int^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}4\cos^2t\text{d}t=2\int^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\left(1+\cos2t\right)\text{d}t=\dfrac{2\pi}{3}+\sin2t|^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy diện tích cần tính là \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\)