Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x=y=z\). Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm \(\left(1;2;-1\right)\) qua đường thẳng \(\Delta\).
\(\left(-1;2;1\right)\) \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{-5}{3}\right)\) \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3}\right)\) \(\left(1;-1;2\right)\) Hướng dẫn giải:Gọi điểm đã cho là \(M\left(1;2;-1\right)\), đường thẳng đã cho \(\Delta\) là : \(x=y=z\). \(\Delta\) có thể viết lại: \(\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{z-0}{1}\) nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{d}=\left(1;1;1\right)\).
Trước hết ta tìm chân hình chiếu H của M lên d, H có tọa độ dạng \(H=\left(x;x;x\right)\) và \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{d}=0\).
Suy ra: \(\left(x-1;x-2;x+1\right).\left(1;1;1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).1+\left(x-2\right).1+\left(x+1\right).1=0\)
\(x=\dfrac{2}{3}\)
Vậy \(H=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)\).
Điểm đối xứng M'(x;y;z) của M qua \(\Delta\) thì ta có:
\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{HM'}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1;\dfrac{2}{3}-2;\dfrac{2}{3}+1\right)=\left(x-\dfrac{2}{3};y-\dfrac{2}{3};z-\dfrac{2}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}\right)\)