Câu 46 Mã đề 103 Thi THPTQG 2017
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\). Đồ thị của hàm số \(y=f'\left(x\right)\) như hình bên. Đặt \(g\left(x\right)=2f\left(x\right)+x^2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
|
Theo giả thiết \(g\left(x\right)=2f\left(x\right)+x^2\) suy ra \(g'\left(x\right)=2f'\left(x\right)+2x=2\left(f'\left(x\right)+x\right).\) Từ đồ thị suy ra đường thẳng \(y=-x\) cắt đồ thị \(y=f'\left(x\right)\) tại ba điểm \(A\left(-3;3\right),B\left(1;-1\right)\) và \(C\left(3;-3\right).\) Suy ra \(g'\left(-3\right)=g'\left(1\right)=g'\left(3\right)=0\) và \(g'\left(x\right)\) có dấu như sau:
Từ đó suy ra \(g\left(1\right)\)là số nhỏ nhất trong ba số \(g\left(-3\right),g\left(1\right),g\left(3\right),\) vì vậy hai đáp số \(g\left(3\right)< g\left(-3\right)< g\left(1\right)\) và \(g\left(-3\right)< g\left(3\right)< g\left(1\right)\) là sai. Để xét hai đáp số còn lại ta cần so sánh \(g\left(-3\right)\) và \(g\left(3\right).\) Để làm điều này, chú ý rằng diện tích \(S_1\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=f'\left(x\right),y=-x\)và hai đường thẳng \(x=-3;x=1\) lớn hơn diệm tích \(S_2\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=f'\left(x\right),y=-x\)và hai đường thẳng \(x=1;x=3.\) Do đó
\(\int\limits^1_{-3}\left(f'\left(x\right)-x\right)\text{d}x>\int\limits^3_1\left(x-f'\left(x\right)\right)\text{d}x\)\(\Leftrightarrow\int\limits^1_{-3}\left(2f'\left(x\right)-2x\right)\text{d}x>\int\limits^3_1\left(2f'\left(x\right)-2x\right)\text{d}x\Leftrightarrow\)\(\int\limits^1_{-3}g'\left(x\right)\text{d}x>\int\limits^1_3g'\left(x\right)\text{d}x\Leftrightarrow g\left(1\right)-g\left(-3\right)>g\left(1\right)-g\left(3\right)\). Suy ra \(g\left(-3\right)< g\left(3\right)\). Do đó đáp số đúng là \(g\left(3\right)>g\left(3-\right)>g\left(1\right)\) .