Bài 5: Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Ở bài trước, ta đã biết những dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn như sau:

1. Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
2. Nếu khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Dấu hiệu thứ hai còn có thể phát biểu dưới dạng định lí sau:

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Cụ thể, trong hình trên, đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(C\) của đường tròn \(\left(O\right)\) và vuông góc với bán kính \(OC\) nên \(a\) là một tiếp tuyến của đường tròn.

Như vậy, muốn chứng minh đường thẳng \(d\) nào đó là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O;R\right)\), ta có các cách:

• Chỉ ra \(d\) cắt đường tròn \(\left(O;R\right)\) tại đúng 1 điểm. (Dấu hiệu này ít được sử dụng hơn, vì việc chỉ ra không tồn tại một điểm chung nào khác của đường thẳng và đường tròn là không đơn giản trong một số bài toán).
• Tìm hình chiếu \(H\) của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta cần chứng minh \(OH=R\).
• Chỉ ra giao điểm \(H\) của đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left(O;R\right)\), sau đó chứng minh (chỉ ra) \(OH\perp a\).

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó, \(BC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(A;AH\right)\).

Thật vậy: 

Rõ ràng \(H\in BC;H\in\left(A;AH\right)\Rightarrow H=BC\cap\left(A;AH\right)\).

Từ giả thiết, ta có thể thấy: \(BC\) vuông góc với bán kính \(AH\) của đường tròn \(\left(A;AH\right)\)

Do đó, \(BC\) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left(A;AH\right)\).

2. Bài toán dựng tiếp tuyến của đường tròn

Bài toán: Qua điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left(O\right)\), hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn.

Ta xét cách dựng sau:

• Dựng \(M\) là trung điểm \(OA\).
• Dựng đường tròn tâm \(M\), bán kính \(MO\). Đường tròn này cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(B\) và \(C\). 
• Kẻ \(AB,AC\), ta được các tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\).

Ta sẽ chứng minh cách dựng trên là đúng:

Xét tam giác \(ABO\) ta có: 

\(M\) là trung điểm \(OA\) nên \(BM\) là trung tuyến của tam giác \(ABO\). 

Lại có: \(B\in\left(M;MO\right)\) \(\Rightarrow BM=MO=\dfrac{AO}{2}\).

Như vậy, \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AO\) và \(BM=\dfrac{AO}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta ABO\) vuông tại \(B\). 

\(\Rightarrow AB\perp OB\). Chứng minh tương tự ta có: \(AC\perp OC\).

Rõ ràng \(B,C\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\).

Vậy \(AB\), \(AC\) trong cách dựng trên là các tiếp tuyến kẻ từ \(A\) của đường tròn \(\left(O\right)\).