Nội dung lý thuyết
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.B}{C.D}\)
Cũng tương tự phép nhân các phân số, phép nhân các phân thức có các tính chất sau:
a) Tính chất giao hoán:
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\).
b) Tính chất kết hợp
\(\Big(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}\Big).\dfrac{E}{G}=\dfrac{A}{B}.\Big(\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{G}\Big).\)
c) Tính chất phân phối đối với phép cộng:
\(\dfrac{A}{B}\Big(\dfrac{C}{D}+\dfrac{E}{G}\Big)=\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}+\dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{G}\).
Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính nhân phân thức sau
a) \(\dfrac{3x^2}{6xy}.\dfrac{2x}{4y}\); b) \(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}.\dfrac{x-1}{x+1}\).
Hướng dẫn giải
a) \(\dfrac{3x^2}{6xy}.\dfrac{2x}{4y}=\dfrac{3x^2.2x}{6xy.4y}=\dfrac{6x^3}{24xy^2}=\dfrac{x^2}{4y^2}\).
b)
\(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}.\dfrac{x-1}{x+1}\\ =\dfrac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}.\dfrac{x-1}{x+1}=1.\)
Ví dụ 2: Tính \(\dfrac{1}{x}.\Big(x+\dfrac{x}{x-1}\Big)\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{1}{x}.\Big(x+\dfrac{x}{x-1}\Big)\\ =\dfrac{1}{x}.x+\dfrac{1}{x}.\dfrac{x}{x-1}\\ =1+\dfrac{1}{x-1}\\ =\dfrac{x-1+1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}.\)
Tương tự phép chia phân số, phép chia phân thức được thực hiện theo quy tắc sau:
Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) (C khác đa thức không), ta nhân phân thức \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức \(\dfrac{D}{C}\):
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}.\)
Nhận xét: Phân thức \(\dfrac{D}{C}\) còn được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{C}{D}\).
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính
a) \(\dfrac{x^2-1}{x}:\dfrac{x-1}{x+1}\); b) \(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{x+1}:\dfrac{x+1}{4}\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\dfrac{x^2-1}{x}:\dfrac{x-1}{x+1}\\ =\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}:\dfrac{x-1}{x+1}\\ =\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}.\dfrac{x+1}{x-1}\\ =\dfrac{(x+1)^2}{x}.\)
b)
\(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{x+1}:\dfrac{4}{x+1}\\ =\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{x+1}.\dfrac{x+1}{4}\\ =\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2}\\ =\dfrac{4-(x+1)}{2(x+1}=\dfrac{3-x}{2(x+1)}.\)
Ví dụ 4: Một xưởng may theo dự định phải may x cái áo trong 10 ngày. Trong thực tế, do cải tiến kỹ thuật nên xưởng may đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày và còn may thêm được 2 cái áo.
a) Viết biểu thức biểu thị số cái áo mà xưởng may may trong một ngày theo dự định.
b) Viết biểu thức biểu thị số cái áo mà xưởng may may trong một ngày theo thực tế.
Hướng dẫn giải
a) Số cái áo mà xưởng may may trong một ngày theo dự định là \(\dfrac{x}{10}\) (cái áo).
b) Vì xưởng may đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên số ngày xưởng hoàn thành công việc trong thực tế là 10 - 2 = 8 (ngày).
Số cái áo mà xưởng may may được theo thực tế là x + 2 (cái áo).
Do đó, trong thực tế mỗi ngày xưởng may may được \(\dfrac{x+2}{8}\) (cái áo).