Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 7\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình của \(\left( C \right)\) là \({\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 7 \).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} - {y^2} - 2x + 4y - 1 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6 = 0\)
c) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) bằng -1).
b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.
c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {11} \).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi \(d,\Delta \) lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2} \right)\)
Phương trình tổng quát của \(d\) là: \(1\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 9 = 0\).
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(x - 7y - 34 = 0\).
Gọi \(J\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó \(J = d \cap \Delta \), do đó tọa điểm \(J\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7y - 34 = 0\\x - 2y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 5\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1; - 5} \right)\)
Từ đó ta tìm được \(R = JM = 5\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\)
\(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\) thuộc (C) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
16 + 25 + 8a - 10b + c = 0\\
4 + 1 + 4a - 2b + c = 0\\
9 + 64 + 6a - 16b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8a - 10b + c = - 41\\
4a - 2b + c = - 5\\
6a - 16b + c = - 73
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 5 \,\,\, \rm{(thỏa mãn)}\\
c = 1
\end{array} \right.\)Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: \({x^2} + {y^2} + 2x + 10y + 1 = 0\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (\({m^2}\)). Khi đó \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0, 0), bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,57y - 8 = 0\).
Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), đồng thời M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\Delta \)
Ta có: \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1,57;2,57} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( {2,57; - 1,57} \right)\).
Phương trình OH là \(2,57x - 1,57y = 0\)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1,57x + 2,57y - 8 = 0\\2,57x - 1,57y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,38\\y \approx 2,27\end{array} \right.\)
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\).
a) Chứng minh điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Xác định tâm và bán kính đường tròn \(\left( C \right)\).
c) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Từ đó, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:
\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(N\left( {1;0} \right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N\left( {1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN} = \left( {0;2} \right)\) làm vecto pháp tuyến là \(y = 0\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25\) Khi tới vị trí M(3;4) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiKhi tới vị trị M(3;4), vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó bay theo hướng tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M. Do đó, d đi qua điểm M và nhận vecto \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;4} \right)\) làm vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của d là: \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 25 = 0\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tìm tâm và bán kính của đường tròn \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 36\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình của \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {6^2}\). Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;3} \right)\) và \(R = 6\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x2 + y2 + xy + 4x – 2 = 0;
b) x2 + y2 – 2x – 4y + 5 = 0;
c) x2 + y2 + 6x – 8y + 1 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đây không phải là phương trình đường tròn do có \(xy\).
b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {2^2} - 5 = 0\)nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.
c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {4^2} - 1 = 24 > 0\)nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = 2\sqrt 6 \).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)