Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Hướng dẫn giải

a) Điểm \(M\left( {1;2} \right)\) thuộc cả hai đường thẳng nói trên.

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 3\\3x - y = 1\end{array} \right.\).

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

c) Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chính là nghiệm của hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\frac{1}{1} \ne \frac{4}{{ - 4}}\), do đó hai vecto pháp tuyến không cùng phương. Vậy hai đường thẳng cắt nhau.

b) Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), do đó hai vecto pháp tuyến này cùng phương. Suy ra hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trùng nhau hoặc cắt nhau.

Mặt khác, điểm \(M\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\) thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc trong đó có hai góc nhọn bằng nhau và hai góc tù bằng nhau. Góc nhọn và góc tù trong trường hợp này là hai góc bù nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Góc \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\) có thể bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Do góc \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\) có thể bằng nhau hoặc bù nhau nên  \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có \({\Delta _1}\)có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;3} \right)\).

Phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là \(3x - y + 1 = 0\), suy ra \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.3 + 3.\left( { - 1} \right) = 0\). Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Cách 2: 

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 3.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 0\)

Do đó góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\varphi =90^o\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = ax + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{{ - b}}{a}\end{array} \right.\) . Vậy đường thẳng \(\Delta \) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\).

b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _o}\) đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với\(\Delta \) là \(y = a\left( {x - 0} \right) + 0 = {\rm{a}}x\).

c) Ta có: \({\alpha _\Delta } = {\alpha _{{\Delta _o}}}\).

d) Từ câu b) và điều kiện \(x_o^2 + y_o^2 = 1\) trong đó \({y_o}\) là tung độ của điểm M, ta suy ra \({x_o} \ne 0\). Do đó: \(\tan {\alpha _\Delta } = \tan {\alpha _{{\Delta _o}}} = \frac{{{y_o}}}{{{x_o}}} = a\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM.1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)

b) Ta có : \(\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right){\rm{ ,}}\overrightarrow {HM}  = \left( {{x_1} - {x_o};{y_1} - {y_o}} \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM}  = a\left( {{x_o} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_o} - {y_1}} \right) = a{x_o} + b{y_o} + c\) trong đó \(a{x_1} + b{y_1} = c\).

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM \Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta \) chính là độ dài đoạn MH trong đó H là hình chiếu từ M xuống \(\Delta \).

Gọi các điểm A, B, C, D như hình vẽ.

Ta có: \(OA = 3,OB = 4  \Rightarrow AB =5 \)

\(DB = 2 = \frac{1}{2}OB \Rightarrow CD = \frac{1}{2}OA = 1,5 \Rightarrow MC = 4 - 1,5 = 2,5.\)

Lại có: \(\widehat {MCH} = \widehat {BCD} = \widehat {BAO}\)

Mà: \(\sin \widehat {MCH} = \frac{{MH}}{{MC}};\sin \widehat {BAO} = \frac{{OB}}{{AB}} = \frac{4}{5}\)

\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{2,5}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow MH = 2\)

Do đó kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải ở Ví dụ 4.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + 3t}\\
{y = - 5 - 4t}
\end{array}} \right. \Rightarrow 4x + 3y = 4(5 + 3t) + 3( - 5 - 4t) = 5\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(4x + 3y - 5 = 0\)

Khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta \) là \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)