Câu hỏi của Cỏ dại - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Đặt A = n^4 - 10n^2 + 9

 = (n^4-n^2)-(9n^2-9) = (n^2-1).(n^2-9)

=(n-1).(n+1).(n-3).(n+3)

Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k thuộc Z)

Khi đó A = 2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4)

= 16.k.(k+1).(k-1).(k+2)

Ta thấy k-1;k;k+1;k+2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 3 và 8

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 24 [vì(3;8)=1]

=>A chia hết cho 16.24 = 384 => ĐPCM

n lẻ=>n=2k+1

Thay vào ta có n⁴-10n²+9=(2k+1)⁴+10(2k+1)²+9

=(4k²+4k+1)(4k²+4k+1)-40k²-40k-10+9

=16k⁴+32k³+24k²+8k+1-40k²-40k-1

=16k⁴+32k³-16k²-32k

=16k(k³+2k²-k-2)

=16k(k²(k+2)-(k+2))

=16k(k²-1)(k+2)

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)

ta có (k-1),k,(k+1),(k+2) là 4 số tự nhiên liên tiếp 

=>(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết cho 24

=>16(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết 384

  Vậy...

Đặt A = n⁴ - 10n² + 9

= ( n⁴ - n² ) - ( 9n^{2 - 9} ) = ( n^{2 - 1} ) . ( n² - 9 )

= ( n - 1 ) . ( n + 1 ) . ( n - 3 ) . ( n + 3 )

Vì n là số lẻ nên n có dạng 2k + 1 ( k thuộc Z )

Khi đó A = 2k . ( 2k + 2 ) . ( 2k - 2 ) . ( 2k + 4 )

= 16 . k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 )

Ta thấy k - 1 ; k + 1 ; k + 2 là 4 số nguyên tố liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 3 và 8

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 24 vì [  BC ( 3 ; 8 ) = 1 ]

\(\Rightarrow\)a \(⋮\)\(16.24=383\RightarrowĐPCM\)

A=(n^2-9)(n^2-1)

=(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)

=(2k+1-3)(2k+1+3)(2k+1-1)(2k+1+1)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k-1)(k+2)

Vì k;k+1;k-1;k+2là 4 số liên tiếp

nen k(k-1)(k+1)(k+2) chia hết cho 4!=24

=>A chia hết cho 384

a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)

\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)

\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)

\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)

\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn

b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ

\(n^4-10n^2+9=\left(n^4-9n^2\right)-\left(n^2-9\right)\)

\(=n^2.\left(n^2-9\right)-\left(n^2-9\right)=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)( \(k\inℤ\))

\(\Rightarrow n^4-10n^2+9=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\)

\(=16.k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

\(=16.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\)

Vì \(k-1\); \(k\); \(k+1\); \(k+2\)là 4 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)⋮24\)

\(\Rightarrow16.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)⋮384\)

hay \(n^4-10n^2+9⋮384\)( đpcm )

\(n^4-10n^2+9\)

\(=\)\(\left(n^4-n^2\right)-\left(9n^2-9\right)\)

\(=\)\(n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\)\(\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\)\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Mà n lẻ nên n có dạng \(2k+1\) \(\left(k\inℤ\right)\)

\(=\)\(\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\)\(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=\)\(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

\(=\)\(15k\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Lại có : 

\(16k\left(k+1\right)\left(k-2\right)\left(k+2\right)⋮16\)

\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮8,⋮3\)

\(\Rightarrow\)\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮384\) ( đpcm ) 

Vậy \(n^4-10n^2+9⋮384\) với mọi n là số nguyên lẻ 

Chúc bạn học tốt ~ 

Lời giải:

Vì $n$ là số nguyên lẻ nên đặt \(n=2k+1(k\in\mathbb{Z})\)

Ta có:

\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=n^2(n^2-1)-9(n^2-1)=(n^2-9)(n^2-1)\)

\(=(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)\)

\(=(2k+1-3)(2k+1+3)(2k+1-1)(2k+1+1)\)

\(=(2k-2)(2k+4)(2k)(2k+2)\)

\(=16(k-1)k(k+1)(k+2)\)

Vì $k-1,k,k+1,k+2$ là 4 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có 2 số chẵn mà trong 2 số chẵn đó có 1 số chia hết cho $4$

\(\Rightarrow (k-1)k(k+1)(k+2)\vdots (2.4)\)

\(\Rightarrow (k-1)k(k+1)(k+2)\vdots 8\)

Cũng thấy rằng \((k-1)k(k+1)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \((k-1)k(k+1)\vdots 3\)

Vậy \((k-1)k(k+1)(k+2)\vdots 24\)

\(\Rightarrow A=16(k-1)k(k+1)(k+2)\vdots (16.24=384)\)

Ta có đpcm.