\(g'=2\left(\sqrt{x+3}\right)^2.\left(\sqrt{x+3}\right)'=2\left(x+3\right).\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3}\)

\(g'\left(x\right)+\sqrt{2x-1}=3\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1}=3\)

\(DKXD:x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow x+3+2x-1+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}=9\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}=7-3x\)

\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+5x-3\right)=49-42x+9x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-62x+61=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=61\left(loai\right)\\x=1\end{matrix}\right.\)

g^'(x) = \(\sqrt{x+3}\) 

ta có phương trình : \(\sqrt{x+3}\)  + \(\sqrt{2x-1}\) =3 ( ĐK : x\(\ge\)\(\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) x+3 +2x-1 +\(2\sqrt{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}\) = 9

\(\Leftrightarrow\) \(2\sqrt{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}\) = 7-3x

\(\Leftrightarrow\) 4(2x² +5x -3) = 49 - 42x +9x² 

\(\Leftrightarrow\) x² - 62x +61 = 0 \(\left\{{}\begin{matrix}x=61\\x=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

PT \((1)\Leftrightarrow \frac{8x}{y}+\frac{y}{x}=-12\)

Dễ thấy $\frac{x}{y}; \frac{y}{x}$ luôn cùng dấu.

Nếu với mọi $x,y>0$ mà $\frac{x}{y}>0\Rightarrow \frac{y}{x}>0$

\Rightarrow \frac{8x}{y}+\frac{y}{x}=-12>0$ (vô lý)

Do đó $\frac{x}{y}; \frac{y}{x}< 0(*)$

Từ PT(2) suy ra ĐKXĐ là:

\(9x\geq \frac{-y}{x}; y\geq \frac{-2x}{y}\). Mà $\frac{x}{y}; \frac{y}{x}< 0$ nên:

\(9x>0; y>0\Rightarrow \frac{x}{y}>0\) (mâu thuẫn với $(*)$)

Do đó HPT vô nghiệm.

    1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

a) ĐKXĐ: \(x\ge0\)

Ta có: \(\left(x+3\sqrt{x}+2\right)\left(x+9\sqrt{x}+18\right)=168x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+6\right)=168x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2+12\sqrt{x}\left(x+6\right)-133=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2+19\sqrt{x}\left(x+6\right)-7\sqrt{x}\left(x+6\right)-133=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x+19\sqrt{x}+6\right)-7\sqrt{x}\left(x+19\sqrt{x}+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-7\sqrt{x}+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=36\end{matrix}\right.\)

a/ ĐKXĐ: \(cos2x\ne0\)

\(\Leftrightarrow2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

Pt tương đương:

\(\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\2cosx+\sqrt{2}=0\\sin2x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\cosx=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\\2x=k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\left(l\right)\\x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\left(l\right)\\x=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi\left(l\right)\\x=\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)

b/

ĐKXĐ: \(x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow tan2x.sinx+3sinx-\sqrt{3}tan2x-3\sqrt{3}=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(tan2x+3\right)-\sqrt{3}\left(tan2x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-\sqrt{3}\right)\left(tan2x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=\sqrt{3}>1\left(vn\right)\\tan2x=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x=arctan\left(-3\right)+k\pi\)

\(\Rightarrow x=\frac{arctan\left(-2\right)}{2}+\frac{k\pi}{2}\)

c/

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)\ne0\\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{3\pi}{4}\ne k\pi\\2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-\frac{3\pi}{4}+k\pi\\x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

Pt tương đương:

\(cos^22x=sin^2\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow cos4x=-cos\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)=cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x=2x+\frac{\pi}{2}+k2\pi\\4x=-2x-\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\left(l\right)\\x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

Nhận thấy \(x^2+y^2=0\) không phải nghiệm, chia vế cho vế:

\(\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{185}{65}=\frac{37}{13}\)

\(\Leftrightarrow13x^2+13xy+13y^2=37x^2-37xy+37y^2\)

\(\Leftrightarrow12x^2-25xy+12y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-3y\right)\left(3x-4y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{3}{4}y\\x=\frac{4}{3}y\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=\frac{3}{4}y\) thay vào pt dưới:

\(\left(\frac{9}{16}y^2-\frac{3}{4}y^2+y^2\right)\sqrt{\frac{9}{16}y^2+y^2}=65\)

\(\Leftrightarrow\frac{65}{64}y^2.\left|y\right|=65\Leftrightarrow y^2\left|y\right|=64\Rightarrow y=\pm4\Rightarrow x=...\)

- Với \(x=\frac{4}{3}y\) tương tự...

\(x^2-2-2\sqrt{4x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-7-2\sqrt{4x-7}+1\right)+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-7}-1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x-7}-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(4x^2-5x+1+2\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x-1\right)+2\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left[\left(4x-1\right)\sqrt{x-1}+2\right]=0\)

\(\Rightarrow x=1\)

. . .

\(\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=1\)

\(VT=\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-2+3-x\right|=1=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x-2\right)\left(3-x\right)\ge0\)

Đến đây lập bảng xét dấu

. . .

\(x^2-x+2=2\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)^2=0\)

Tự làm tiếp nhé.

\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+1}-4\right)+\left(1-\sqrt{6-x}\right)+\left(3x^2-14-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x+1-16}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1-6+x}{1+\sqrt{6-x}}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x-5\right)}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1\right)\left(x-5\right)=0\)

\(\Rightarrow x=5\)

. . .

\(\sqrt{2x^2-4x+5}-x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-4x+5}=x-4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\\2x^2-4x+5=x^2-8x+16\end{matrix}\right.\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+6}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+6}-\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow2x+3=x+6-2\sqrt{\left(x+6\right)\left(x-1\right)}+x-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+5x-6}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-6=1\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(x+y+\dfrac{1}{2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y-\sqrt{y}+\dfrac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

Tự làm tiếp nhé.

- Lô Vỹ Vy Vy Nếu câu hỏi liên quan đến hình học, thì mỗi lần đăng một câu thôi, nếu câu hỏi liên quan đến đại số và số học thì có thể đẳng 3 - 4 câu một lần. Lần sau đừng đăng dày đặc như thế này nữa.