1:

a) 3xy \(⋮\)5;3

=> y \(\in\){0;5}

Ta có 2TH:

TH1: y = 0

=> 3x0 \(⋮5;3\)

=> ( 3 + x + 0 ) \(⋮\)3 => 3 + x \(⋮\)3

=> x \(\in\left\{0;3;6;9\right\}\)

TH2: y = 5

=> 3x5 \(⋮\) 5;3

=> ( 3 + x + 5 ) \(⋮\) 3 => 8 + x \(⋮\) 3

=> x \(\in\){ 1;4;7 }

Từ 2TH trên => y \(\in\left\{0;5\right\}\) ; x \(\in\left\{0;3;6;9;1;4;7\right\}\)

Tương tự với b

2: a) ( 321⁸ + 197² ) \(⋮\) 5

Vì 321⁸ tận cùng là 1

197² = ......9 có tận cùng là 9

Mà 1 + 9 = 10 tận cùng là 0 \(⋮\) 5

=> ( 321⁸ + 197² ) \(⋮\) 5 ( đpcm )

Tương tự b

1. Ta có: \(x\left(6-x\right)^{2003}=\left(6-x\right)^{2003}\)

=> \(x\left(6-x\right)^{2003}-\left(6-x\right)^{2003}=0\)

=> \(\left(6-x\right)^{2003}\left(x-1\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\left(6-x\right)^{2003}=0\\x-1=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}6-x=0\\x=1\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=6\\x=1\end{cases}}\)

Bài 2. Ta có: (3x - 5)¹⁰⁰ \(\ge\)0 \(\forall\)x

       (2y + 1)¹⁰⁰ \(\ge\)0 \(\forall\)y

=> (3x - 5)¹⁰⁰ + (2y + 1)¹⁰⁰ \(\ge\)0 \(\forall\)x;y

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}3x-5=0\\2y+1=0\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}3x=5\\2y=-1\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy ...

1. x( 6 - x )²⁰⁰³ = ( 6 - x )²⁰⁰³

<=> x( 6 - x )²⁰⁰³ - ( 6 - x )²⁰⁰³ = 0

<=> ( x - 1 )( 6 - x )²⁰⁰³ = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\6-x=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=6\end{cases}}\)

2. \(\left(3x-5\right)^{100}+\left(2y+1\right)^{100}\le0\)

\(\hept{\begin{cases}\left(3x-5\right)^{100}\ge0\forall x\\\left(2y+1\right)^{100}\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow}\left(3x-5\right)^{100}+\left(2y+1\right)^{100}\ge0\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra <=>  \(\hept{\begin{cases}3x-5=0\\2y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

1:

a: ĐKXĐ: \(x< >\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\)

=>TXĐ: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\right\}\)

b: ĐKXĐ: \(x< >k\Omega\)

=>TXĐ: \(D=R\backslash\left\{k\Omega\right\}\)

c: ĐKXĐ: \(2x< >\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\)

=>\(x< >\dfrac{\Omega}{4}+\dfrac{k\Omega}{2}\)

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\Omega}{4}+\dfrac{k\Omega}{2}\right\}\)

d: ĐKXĐ: \(3x< >\Omega\cdot k\)

=>\(x< >\dfrac{k\Omega}{3}\)

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{k\Omega}{3}\right\}\)

e: ĐKXĐ: \(x+\dfrac{\Omega}{3}< >\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\)

=>\(x< >\dfrac{\Omega}{6}+k\Omega\)

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\Omega}{6}+k\Omega\right\}\)

f: ĐKXĐ: \(x-\dfrac{\Omega}{6}< >\Omega\cdot k\)

=>\(x< >k\Omega+\dfrac{\Omega}{6}\)

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{k\Omega+\dfrac{\Omega}{6}\right\}\)

đề hơi lạ xem lại

Ta có :5/x = 1/8 - y/4 = (1-2y)/8 
<=> x = 5.8/(1-2y) ; thấy 1-2y là số lẻ nên ƯCLN(8,1-2y) = 1 
do đó x/8 = 5/(1-2y) 
Để x, y nguyên khi 1-2y phải là ước của 5 
*Xét 1-2y = -1 => y = 1 => x = -40 
*Xét 1-2y = 1 => y = 0 => x = 40 
*Xét 1-2y = -5 => y = 3 => x = -8 
*Xét 1-2y = 5 => y = -2 => x = 8 
Vậy có 4 cặp (x,y) nguyên (-40,1) ; (40, 0) ; (-8, -5) ; (8, 5) 

1.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

2.

Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)

Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)

Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)

Biến đổi giả thiết:

\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)

\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(a^2+b^2+c^2\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)