mình nghĩ đề nó như thế này

\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2-\left(b+d^{ }\right)^2}\)

hai zế BĐT ko âm nên bình phương 2 zế ta có

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\left(1\right)\)

Nếu \(ac+bd< 0\)thì BĐT đc c/m

Nêu \(ac+bd\ge0\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2acbd\ge0\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

dấu = xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Sao khó vậy???mk mới lớp 6 thôi!!!

Nếu chứng minh $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1$ thì không có đủ cơ sở để cm bạn nhé. Bạn viết lại đề hoặc bổ sung thêm điều kiện để mọi người trợ giúp tốt hơn.

\(\frac{1}{4}x^4-9\)

\(=\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-3^2\)

\(=\left(\frac{1}{2}x^2-3\right)\left(\frac{1}{2}x^2+3\right)\)

\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x^2+4\right)}{4}\ge4x\)

\(\Leftrightarrow x^2+4\ge4x\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)

Vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh.

\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+4}{4}\ge\dfrac{4x}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+4+4x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2\ge0\)    (luôn đúng)

#)Giải :

Ta có : \(a+b+c=2p\)

\(\Rightarrow b+c=2p-a\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=\left(2p-a\right)^2\)

\(\Rightarrow b^2+c^2+2bc=4p^2-4pa+a^2\)

\(\Rightarrow2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)

=3(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)

=(2^8-1)(2^8+1)(2^16+1)

=(2^16-1)(2^16+1)=2^32-1

d: \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\)

\(=\left(x^3-8\right)\left(x^3+8\right)\)

\(=x^6-64\)

Có thể đưa về hàm số:

\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)

Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)

\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)