BT1: Cho a,b,c>0. CMR: a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)=<3abc
BT2: Cho a,b,c>0. CMR\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}>=a+b+c\)
BT3: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=ab+bc+ca. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}=< \dfrac{3}{16}\)
GIÚP MÌNH VỚI. MÌNH ĐANG CẦN GẤP.
a) Áp dụng bất đẳng thức Schur với \(r=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2b+ca^2-a^3+ab^2+b^2c-b^3+c^2a+bc^2-c^3\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b^2}.b^2}=3a\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c^2}+c+c\ge3b\\\dfrac{c^3}{a^2}+a+a\ge3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
c) Ta có \(abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+c+2\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\\\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{16}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{3}{16}\) ( đpcm )
Câu 2 b sos là ra :D
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3-ab^2}{b^2}\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2}-2\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^2-b^2+ab-b^2}{b^2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+2b\right)}{b^2}\ge0\)
BĐT cuối cùng đúng nên ta có Q.E.D.
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Câu 3 có cách khác ạ,nhưng mà sao em thấy nó sai sai,vì dấu "=" không xảy ra!Mong mọi người check giúp ạ!
gt<=> \(abc=ab+bc+ca\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) (chia hai vế cho abc>0)
Dễ chứng minh \(\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{k}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d+e+k}\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{6}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}< \frac{3}{16}?!?\)
Cho m<n. Chứng tỏ 2m+1 <2n + 5.
Ta có: m<n nên suy ra:
Nhân cả hai vế của bđt với 2 ta được: 2m<2n
Nhân cả hai vế của bđt với 1 ta được: 2m+1< 2n+1 (1)
Mà 1<5 nên cộng cả hai vế vs 2n ta được: 2n+1< 2n+5 (2)
Theo tính chất bắc cầu, từ (1) và (2) suy ra : 2m+1< 2n+5
dòng thứ 3 sửa lại bn nhé " công cả hai vế của bđt với 1ta được : 2m+1< 2n+1
2m+1<2n+5 (1)
2(n-m)+(5-1) >0(2)
2(n-m)+4>0 (3)
Từ n>m => (n-m)>0
Tổng hai số dương phải dương => (3) đúng --> (2) đúng--> (1) đúng---> đề đúng --> dpcm
Chứng minh rằng:
Nếu {a>0; b>0 ; x,y \(\in\) R} thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Ta có:\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)(1)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(bx2+ay2) \(\geq\) ab(x+y)2
\(\Leftrightarrow\) abx2+a2y2+b2x2+aby2 \(\geq\) ab(x2+2xy+y2)
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 \(\geq\) abx2+2abxy+aby2
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 -abx2-2abxy-aby2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2abxy+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2(ay).(bx)+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay-bx)2 \(\geq\) 0(2)
Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=0.
Cho mình sửa dấu =
Dấu= xảy ra khi \(\begin{cases} x=y\\ a=b \end{cases}\)
1.cho a,b,c là 3 cạnh tam giác
chứng minh ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ac(c+a-2b) lớn hơn hoặc = 0
a2b+ab2-2abc +b2c+bc2-2abc+ac2+a2c-2abc
=b(a2-2ac+c2) +a(b2-2bc+c2)+c (a2-2ab+b2)
= b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2 vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác=) a,b,c>0
b(a-c)2\(\ge0\) \(\forall a,b,c\)
a(b-c)2\(\ge0\)\(\forall a,b,c\)
c(a-b)2\(\ge0\forall a,b,c\)
a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) <0
vs a<b<C
Cho a,b,c >0
Cm \(\dfrac{ }{\dfrac{ }{ }}\)
(b+c-a)/2a+ (a-b+c)/2b+ (a+b-c)/2c > hoặc = 3/2
\(\dfrac{b+c-a}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\dfrac{b+c-a}{2a}=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}-\dfrac{a}{2a}=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}-\dfrac{1}{2}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{a}{2b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{2b}+\dfrac{a}{2c}+\dfrac{b}{2c}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{c}{2b}+\dfrac{a}{2c}+\dfrac{b}{2c}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{c}{2b}+\dfrac{a}{2c}+\dfrac{b}{2c}-3\ge0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{b}{2a}+\dfrac{a}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\)
\(\dfrac{c}{2a}+\dfrac{a}{2c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}}=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)
\(\dfrac{b}{2c}+\dfrac{c}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{b}}=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{c}{2b}+\dfrac{a}{2c}+\dfrac{b}{2c}\ge3\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{2a}+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{c}{2b}+\dfrac{a}{2c}+\dfrac{b}{2c}-3\ge3-3=0\)
BĐT đúng nên ta có ĐPCM
Cho x2+y2=52.
Tìm GTLN của |2x+3y|
Áp dụng BĐT BCS, ta có:
\(\left(2x+3y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(2^2+3^2\right)\)
\(\left(2x+3y\right)^2\le52.\left(2^2+3^2\right)\)
\(\left(2x+3y\right)^2\le676\)
\(\left|2x+3y\right|\le26\)
Dấu ''='' xảy ra khi ...................... bận
a) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \(\dfrac{3x-2}{4}\)không nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(\dfrac{3x+3}{6}\)
b) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \(\dfrac{2x-3}{35}+\dfrac{x\left(x-2\right)}{7}\)không lớn hơn giá trị của biểu thức \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{2x-3}{5}\)
c) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức (x+1)2 nhỏ hơn giá trị của biểu thức (x-1)2
d) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \(\dfrac{3x-2}{4}\)không lớn hơn giá trị của biểu thức \(\dfrac{3x+3}{6}\)
:v Thay cái câu đó = mấy cái dấu roài giải BPT thôi mà
Nếu dễ vậy sao bạn ko làm cho rõ đi định quang
Cho a,b,c,d,e là các số thực chứng minh rằng:
a) a2+\(\dfrac{b^2}{4}\)>= ab
b)a2+b2+1>=ab+a+b
c)a2+b2+c2+d2+e2>=a(b+c+d+e)
d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}>=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\)
e) \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}>=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\)
đăng từng câu 1 thôi, nhiều nhất là 3 câu/ 1 lần hỏi vì đâu có giới hạn số lần hỏi
c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2>= a(b+c+d+e)
<=> 4a2 +4b2 +4c2 +4d2 +4e2>= 4ab+4ac+4ad+4ae
<=> ( a2 - 4ab+4b2 )+(a2 _ 4ac+4c2 )+(a2_ 4ad+4d2)+( a2 _ 4ae+4e2)>=0
<=> (a-2b)2 +(a-2c)2+(a-2d)2+(a-2e)2>=0(luôn đúng)
nên ...(đpcm) luôn đúng
tìm GTLN của biểu thức \(A=\dfrac{x-2}{x^3-x^2-x-2}\)
\(A=\dfrac{T}{M}\)
\(M=x^3-x^2-x-2=\left(x^3-8\right)-\left(x^2-4x+4\right)-5\left(x-2\right)\)
\(M=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-2\right)^2-5\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4-x+2-5\right)\)
\(M=\left(x-2\right)\left(x^2+x+1\right)\)
Điều kiện tồn tại A (x khác 2)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{x^2+x+1}\)
\(\dfrac{1}{A}=x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{4}{3}\)
đạt được khi x=-1/2 thỏa mãn đk
