Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Neko Chan

Chứng minh rằng:

Nếu {a>0; b>0 ; x,y \(\in\) R} thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

Nguyễn Tấn Dũng
4 tháng 4 2017 lúc 23:11

Ta có:\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)(1)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b)(bx2+ay2) \(\geq\) ab(x+y)2

\(\Leftrightarrow\) abx2+a2y2+b2x2+aby2 \(\geq\) ab(x2+2xy+y2)

\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 \(\geq\) abx2+2abxy+aby2

\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 -abx2-2abxy-aby2 \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2abxy+(bx)2 \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2(ay).(bx)+(bx)2 \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (ay-bx)2 \(\geq\) 0(2)

Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) luôn đúng.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=0.

Nguyễn Tấn Dũng
4 tháng 4 2017 lúc 23:15

Cho mình sửa dấu =

Dấu= xảy ra khi \(\begin{cases} x=y\\ a=b \end{cases}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thanh Vân
Xem chi tiết
Trần Văn Tú
Xem chi tiết
Lê Đại An
Xem chi tiết
Hoang Thiên Di
Xem chi tiết
Hoàng Phúc CR7
Xem chi tiết
Hạ Linh
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Đỗ Linh Chi
Xem chi tiết
Thảo Nguyễn
Xem chi tiết