oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P
Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P
C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :
\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)
C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
nhân với nhau ta có
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
