a) Đường thẳng \({\Delta _1}\)có một vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( {2;5} \right)\)

Do đó \({\overrightarrow n _{{\Delta _1}}} = \left( { - 5;2} \right)\), đồng thời \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(M\left( {1;3} \right)\) nên  phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) là: \(-5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 1 = 0\).

b) Đường thẳng \({\Delta _2}\)có một vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} = \left( {2;3} \right)\)

Do đó \({\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( { - 3;2} \right)\), đồng thời \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\) nên  phương trình tham số của \({\Delta _2}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\).

a)\(\overrightarrow{AC}=\left(4;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{N}_{AC}=\left(0;4\right)\)

Phương trình đường thẳng AC : \(4y-4=0\)

Phương trình đường thẳng BH vuông góc AC : \(4x+c=0\)

Thay tọa độ điểm B được : \(c=-4\)

Phương trình đường thẳng BH :\(4x-4=0\)

b) \(\overrightarrow{AB}=\left(0;3\right)\)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC

\(M\left(1;\frac{5}{2}\right)\)

\(N\left(3;1\right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc AB hay là đường trung trực AB: \(3y-\frac{15}{2}=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4;0\right)\)

Phương trình đường trung trực AC : \(4x-12=0\)

Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3y-\frac{15}{2}=0\\4x-12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-2;-\frac{3}{2}\right)\)

\(IA=R\)

\(IA=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(\frac{-3}{2}\right)^2=\frac{5}{2}}\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \(\left(x-3\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)

a) Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = ax + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{{ - b}}{a}\end{array} \right.\) . Vậy đường thẳng \(\Delta \) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\).

b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _o}\) đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với\(\Delta \) là \(y = a\left( {x - 0} \right) + 0 = {\rm{a}}x\).

c) Ta có: \({\alpha _\Delta } = {\alpha _{{\Delta _o}}}\).

d) Từ câu b) và điều kiện \(x_o^2 + y_o^2 = 1\) trong đó \({y_o}\) là tung độ của điểm M, ta suy ra \({x_o} \ne 0\). Do đó: \(\tan {\alpha _\Delta } = \tan {\alpha _{{\Delta _o}}} = \frac{{{y_o}}}{{{x_o}}} = a\).

Tham khảo:

Từ công thức \(I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\), ta thấy cường độ dòng điện được định nghĩa thông qua tỉ số giữa điện lượng dịch chuyển qua tiết diện thẳng và khoảng thời gian để thực hiện sự dịch chuyển đó.

Trong chương trình môn Khoa học tự nhiên 8, các em đã được học đơn vị của cường độ dòng điện trong hệ SI (A) đơn được chọn là đơn vị cơ bản, do đó đơn vị của điện tích (C) được định nghĩa lại như sau: 1 culông (1 C) là điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong 1 s khi có dòng điện không đổi cường độ 1 A chạy qua. 

1C= 1A.1s = 1As

Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc delta có dạng:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x+y-4=0\)

Gọi B là giao điểm d và delta, tọa độ B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-7=0\\2x+y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(3;-2\right)\)

(C) thỏa mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi C nhận AB là đường kính

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(2;0\right)\Rightarrow IA=\left(-1;2\right)\Rightarrow IA=\sqrt{5}=R\)

Phương trình đường tròn (C):

\(\left(x-2\right)^2+y^2=5\)

a: Khi x=-2 thì (y+2)^2=25-(-2-1)^2=25-9=16

=>y=2 hoặc y=-6

TH1: A(-2;2)

I(1;-2)

vecto IA=(-3;4)

Phương trình Δ là:

-3(x-1)+4(y+2)=0

=>-3x+3+4y+8=0

=>-3x+4y+11=0

TH2: A(-2;-6); I(1;-2)

vecto IA=(-3;-4)=(3;4)

Phương trình IA là:

3(x+2)+4(y+6)=0

=>3x+6+4y+24=0

=>3x+4y+30=0

b: Δ//12x+5y+6=0

=>Δ: 12x+5y+c=0

d(I;Δ)=5

=>\(\dfrac{\left|12\cdot1+5\cdot\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\)

=>|c+2|=5*13=65

=>c=63 hoặc c=-67

a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(A(2;1)\) nên ta có phương trình tổng quát

  \(3\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\)

\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 3} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(2x - y - 2 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(B( - 1;4)\) nên ta có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 4 - t\end{array} \right.\)

\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \)là:

  \(\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

Lời giải:

a)

PT đường cao $BK$ của tam giác $ABC$ nhận \(\overrightarrow{AC}=(1,-4)\) là vecto pháp tuyến.

PTĐT $BK$: $1(x-x_B)+(-4)(y-y_B)=0$

$\Leftrightarrow 1(x+3)+(-4)(y-1)=0$

$\Leftrightarrow x-4y+7=0$

b)

$x_N=\frac{x_A+x_B}{2}=-1$

$y_N=\frac{y_A+y_B}{2}=2$

\(\overrightarrow{CN}=(-3,3)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{CN}=(3,3)\)

PTĐT $CN$: $3(x-2)+3(y+1)=0$

$\Leftrightarrow x+y-1=0$

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là

x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng

M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)

⇒ AM ⊥ Δ 

⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)

⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0

⇒ t = -1

Vậy M (- 1; - 1)

M là trung điểm của AB => Tọa độ B

Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C