Cho đường tròn tâm O. Đường kính AB. C,D là 2 điểm thuộc đường tròn sao cho AC=CD. Chứng minh OC vuông góc với AD
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho AC>AB, qua C dựng đường thẳng vuông góc với OC cắt đường thẳng AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), kẻ BK vuông góc với CD ( K thuộc CD); đường kính CH cắt đường thẳng BK tại E. a) Chứng minh 4 điểm C,H,B,K cùng thuộc 1 đường tròn. b) Cm KH//AC. c) Cm BH.AD=AH.BD
a: Ta có: \(\widehat{CHB}=90^0\)
=>ΔCHB vuông tại H
=>ΔCHB nội tiếp đường tròn đường kính CB(4)
Ta có: \(\widehat{CKB}=90^0\)
=>ΔCKB vuông tại K
=>ΔCKB nội tiếp đường tròn đường kính CB(5)
Từ (4) và (5) suy ra C,H,B,K cùng thuộc đường tròn đường kính CB
b:
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Ta có: \(\widehat{OCB}+\widehat{BCK}=\widehat{OCK}=90^0\)
\(\widehat{OCB}+\widehat{OCA}=\widehat{BCA}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{BCK}=\widehat{OCA}\)(1)
Ta có: CHBK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BCK}=\widehat{BHK}\left(2\right)\)
Xét ΔOAC có OC=OA
nên ΔOAC cân tại O
=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{BHK}=\widehat{OAC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên HK//AC
vẽ hộ hình giúp mình với phần a) Cm 2 tam giác nội tiếp
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho AC>AB, qua C dựng đường thẳng vuông góc với OC cắt đường thẳng AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), kẻ BK vuông góc với CD ( K thuộc CD); đường kính CH cắt đường thẳng BK tại E. Chứng mình 4 điểm C,H,B,K cùng thuộc 1 đường tròn'
Xét tứ giác CHBK có
\(\widehat{CHB}+\widehat{CKB}=90^0+90^0=180^0\)
=>CHBK là tứ giác nội tiếp
=>C,H,B,K cùng thuộc một đường tròn
Cho đường tròn (O), đường kính AD vuông góc với dây BC tại I (I thuộc bán kính OD) a) ΔABC là tam giác gì? Vì sao? b) Kẻ BE vuông góc với AC (E thuộc AC), BE cắt AD ở H. Chứng minh BH//CD c) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao? d) Gọi O' là tâm đường tròn bán kính AH. Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn (O') e) Chứng muinh rằng IE là tiếp tuyến của đường tròn (O')
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH biết BC=10cm, góc C=30 độ
a) Tính AB,AC và AH
b) Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Chứng minh H thuộc đường tròn O
c) Vẽ AI vuông góc với OC tại I và cắt đường tròn tại D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đừng tròn O
Cho nữa đường trong o, đường kính AB. C là một điểm thuộc đường tròn o. H là hình chiếu của C tre AB. Qua trung điểm của CH , vẽ đường vuông góc với OC cắt nữa đường tròn tại D và E . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C bán kính CD.
có cách này nè:
vẽ nữa (O) kia. vẽ đường kính COK.gọi giao điểm của EM vs CK là F. ta có: tam giác CEK nội tiếp (O), có CK là đường kính => tam giác CEK vuông tại E, có đường cao EF => = CF.CK(1)
ta có: tam giác CMF Đồng dạng với tam giác COH(g.g) => CM/ OC = CF/CH \(\Rightarrow\)CH/CK = CF/CH \(\Rightarrow\)CH2 = CK.CF (2) => từ (1);(2)=> CE=CH. mà ta dễ dàng c/m được CE=CD. vậy CH = CD, nên H thuộc (O;CD). mà CH vuông góc với AB. => dpcm
cho Ac là một dây khác đường kính của đường tròn tâm O B là một điểm trên cung nhỏ AC sao cho AB nhỏ hơn BC kẻ dây BD của đường tròn tâm O và vuông góc với AC tại H kẻ BI vuông góc với CD kẻ BK vuông góc với AD chứng minh HIK thẳng hàng
góc DCA=góc DBA
góc AKB=góc AHB=90 độ
=>AHBK nội tiếp
=>góc AKB+góc AHB=180 độ
=>góc AKH=góc ABH=góc HCD
góc DAC=góc DBC=góc DIH
=>180 độ-góc DAC=180 độ-góc DIH
=>góc CAK=góc HIC
=>góc HAK=góc HIC
mà góc AKH=góc HCI
nên ΔHAK đồng dạng với ΔHIC
=>góc AHK=góc IHC
=>góc IHC+góc KHC=180 độ
=>góc KHI=180 độ
=>K,I,H thẳng hàng
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc (O) sao cho CA < CB. Vói H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, gọi D, M, N theo thứ tự là giao của đường tròn I đường kính CH với (O), AC và BC
a, Tứ giác CMHN là hình gì?
b, Chứng minh OC ⊥ MN
c, Với E = AB ∩ CD, chứng minh các điểm E, I, M và N thẳng hàng
d, Chứng minh ED.EC = EA.EB
a, Tứ giác CMHN là hình chữ nhật
b, Ta có
O
C
A
^
=
O
A
C
^
C B A ^ = A C H ^ ; A C H ^ = C M N ^
=> O C A ^ + C M N ^ = 90 0
Vậy OC ⊥ MN
c, Ta có ∆IOC có E là trực tâm suy ra IN đi qua M và E (đpcm)
d, Ta có E M A ^ = C M N ^ ; C M N ^ = C B A ^ => ∆EMA:∆ENB
Tương tự ∆EMH:∆EHN => EM.EN = E H 2 ngoài ra , ∆EHC vuông tại H có HD là đường cao
=> E H 2 = ED.EC. Từ đó ta có đpcm
Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến AB với (O)( B là tiếp điểm). Lấy điểm
C thuộc đường tròn (O) sao cho AC=AB, Vẽ đường kính BE.
a) Chứng minh AC vuông góc với OC. Từ đó suy ra AC là tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh OA//CE.
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên BE và M là giao điểm của AE và CH. Chứng minh M là
trung điểm của CH.
a: Xét ΔOBA và ΔOCA có
OB=OC
OA chung
BA=CA
Do đó: ΔOBA=ΔOCA
Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{OCA}=90^0\)
hay AC\(\perp\)OC tại C
Xét (O) có
OC là bán kính
AC\(\perp\)OC tại C
Do đó: AC là tiếp tuyến của (O)
b: Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: AB=AC
nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2)suy ra OA là đường trung trực của BC
hay OA\(\perp\)BC(3)
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp đường tròn
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
hay BC\(\perp\)CE(4)
Từ (3) và (4) suy ra CE//OA
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và AB < AC. Vẽ đường kính AD của đường tròn tâm O. Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E, F thuộc AD). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh bốn điểm A,B,H,E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HE//CD.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME=MF