a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

mà OM=ON

nên OA là trung trực của MN

=>OA vuông góc MN tại H

Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

góc HAK chung

=>ΔAHK đồng dạng vớiΔAIO

=>AH/AI=AK/AO

=>AH*AO=AK*AI=AB*AC

Vì AM và AN là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm O 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp OM\\AN\perp ON\end{matrix}\right.\)  => \(\left\{{}\begin{matrix}GócAMO=90\\GócANO=90\end{matrix}\right.\)

Xét từ giác AMON có :

AMO + ANO = 90 + 90 = 180 

Mà 2 góc này ở vị try đối diện nhau 

=> Tứ giác AMON nội tiếp < đpcm>

Ta có AM ; AN lần lượt là tiếp tuyến đường tròn(O) với M;N là tiếp điểm 

nên ^AMO = ^ANO = 90⁰

Xét tứ giác AMON có ^AMO + ^ANO = 180⁰

mà 2 góc này đối nhau 

Vậy tứ giác AMON nt 1 đường tròn 

a, Vì AM; AN lần lượt là tiếp tuyến đường tròn (O) với M;N là tiếp điểm 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

mà AM = AN (tc tiếp tuyến cắt nhau) ; OM = ON = R 

Vậy OA là đường trung trực đoạn MN => OA vuông MN 

Xét tứ giác AMON có 

^AMO + ^ANO = 180⁰

mà 2 góc này đối Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACB ( cùng chắn cung BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g)

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AM^2=AB.AC\)

c, Xét tam giác OMA vuông tại M, đường cao MH 

Ta có \(AM^2=AH.AO\)( hệ thức lượng ) 

=> \(AB.AC=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có 

^A _ chung 

\(\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\left(cmt\right)\)

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( góc ngoài đỉnh B )

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

d, Ta có BHOC nt 1 đường tròn (cmc) 

=> ^OHC = ^OBC (góc nt chắc cung CO) 

=> ^AHB = ^ACO (góc ngoài đỉnh H) 

mà ^OCB = ^OBC do OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O

=> ^OHC = ^AHB 

mà ^CHN = 90⁰ - ^OHC 

^NHB = 90⁰ - ^AHB 

=> ^CHN = ^NHB 

=> HN là phân giác của ^BHC 

a, Ta có AM ; AN lần lượt là tiếp tuyến (O) 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

Xét tứ giác AMON có ^AMO + ^ANO = 180⁰ 

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM ta có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACM ( cùng chắn BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g) 

c, Ta có AM = AN ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

ON = OM = R => OA là đường trung trực đoạn MN 

Xét tam giác AMO vuông tại M, đường cao MH 

=> AM^2 = AH.AO 

=> AB . AC = AH . AO => AB/AO = AH/AC 

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có

^A _ chung ; AB/AO = AH/AC (cmt) 

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( mà ^ABH là góc ngoài đỉnh B ) 

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

a: Xét (O) có

AM là tiếp tuyến

AN là tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

hay A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

nên O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(3)

b: Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp

MC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại N

=>MN⊥NC(4)

Từ (3) và (4) suy ra OA//CN

c: Xét (O) có 

ΔMDC nội tiếp

MC là đường kính

Do đó:ΔMDC vuông tại D

Xét ΔMAC vuông tại M có MD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(5\right)\)

Xét ΔMOA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6)suy ra \(AD\cdot AC=AH\cdot AO\)

a: Gọi giao điểm của MN với OA là H

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

Do đó: AM=AN và AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\)

AO là phân giác của góc MAN

=>\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(1)

AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO vuông góc với MN tại trung điểm của MN

=>AO vuông góc với MN tại H và H là trung điểm của MN

ΔAMO vuông tại M

=>\(MA^2+MO^2=OA^2\)

=>\(MA^2+3^2=5^2\)

=>\(MA^2=5^2-3^2=16\)

=>MA=4(cm)

Chu vi tứ giác OMAN là:

OM+MA+AN+ON

=3+4+4+3

=6+8=14(cm)

Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot OA=MO\cdot MA\)

=>\(MH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>MH=2,4(cm)

H là trung điểm của MN

=>MN=2*MH

=>MN=2*2,4

=>MN=4,8(cm)

b: SO\(\perp\)OM

MA\(\perp\)OM

Do đó: SO//MA

=>\(\widehat{SOA}=\widehat{MAO}\)

mà \(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)(cmt)

nên \(\widehat{SOA}=\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

=>\(\widehat{SOA}=\widehat{SAO}\)

=>SA=SO

góc OBA+góc OCA=90+90=180 độ

=>ABOC nội tiếp

a: góc OMA+góc ONA=180 độ

=>OMAN nội tiếp

b: OMAN nội tiếp

=>góc AOM=góc ANM

mà góc AOM=góc AOn

nên góc AON=góc ANM