Từ giả thiết ta thấy tất cả các biểu thức đều xác định :

Ta có : \(\log_ax=1+\log_ax.\log_az\Leftrightarrow\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}=\frac{1}{1-\log_a\frac{a}{z}}=\log_{\frac{a}{z}}z\)

Do đó \(\log_xa.\log_{\frac{a}{z}}z=1\)

Tương tự \(\log_ya.\log_{\frac{a}{x}}x=1\)

Hơn nữa, thay \(\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}\) vào \(\log_ay=1+\log_ay.\log_ax\), ta được :

\(\log_ay=1+\frac{\log_ay}{1-\log_az}\Leftrightarrow1-\log_az=\frac{\log_ay}{\log_ay-1}\)

                                \(\Leftrightarrow\log_za=1+\log_ay.\log_az\)

Tương tự như trên ta cũng có :

                                          \(\log_za.\log_{\frac{a}{y}}y=1\)

Từ đó suy ra :

\(A=\left(\log_{\frac{a}{x}}a.\log_ya\right)\left(\log_{\frac{a}{y}}a.\log_za\right)\left(\log_{\frac{a}{z}}a.\log_xa\right)=1\)

1.\(\dfrac{log_ac}{log_{ab}c}=log_ac.log_c\left(ab\right)=log_ac.\left(log_ca+log_cb\right)=log_ac.log_ca+log_ac.log_cb=\dfrac{log_ac}{log_ac}+\dfrac{log_cb}{log_ca}=1+log_ab\)

2. \(log_{ax}bx=\dfrac{log_abx}{log_aax}=\dfrac{log_ab+log_ax}{log_aa+log_ax}=\dfrac{log_ab+log_ax}{1+log_ax}\)

3. \(\dfrac{1}{log_ax}+\dfrac{1}{log_{a^2}x}+...+\dfrac{1}{log_{a^n}x}=log_xa+log_xa^2+...+log_xa^n\)

\(=log_xa+2log_xa+...+n.log_xa=log_xa+2log_xa+...+n.log_xa\)

\(=log_xa.\left(1+2+...+n\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}log_xa=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2.log_ax}\)

Theo công thức biến đổi có số ta có : \(\log_{a^n}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^n}=\frac{1}{n}\log_ax\)

Từ đó ta có :

      \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)

          \(=\frac{1}{\log_ax}+\frac{2}{\log_ax}+\frac{4}{\log_ax}+...+\frac{n}{\log_ax}\)

          \(=\frac{1+2+3+...+n}{\log_ax}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)

Vậy \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)

a) Ta có 1350 = 30.3² . 5 suy ra

log₃₀1350 = log₃₀(30. 3². 5) = 1 + 2log₃₀3 + log₃₀5 = 1 + 2a + b.

b) log₂₅15 = = = = = .

Theo giả thiết : 

\(\Leftrightarrow\log_xa+\log_zc=2\log_yb\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_cz}=\frac{2}{\log_by}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\log y_b}=\frac{2\log_ax.\log_cz}{\log_ax+\log_cz}\)

\(\Rightarrow\) Điều phải chứng minh

Chọn C

Chọn C