Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=10^2-8^2=36\)

hay AB=6(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AB\cdot AC=AH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{36}{10}=3.6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{64}{10}=6.4\left(cm\right)\\AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

           \(\widehat{B}:chung\)

      \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)           \(\left(ĐPCM\right)\)

b)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC. Ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow15^2+20^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=25\)

Ta có: \(\text{ΔABC ∼ ΔHBA }\)   (cm câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{BH}{15}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=12\\BH=9\end{matrix}\right.\)

⇒ \(CH=BC-BH=25-9=16\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{16}\)

hay HC=16HB

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow16HB^2=148\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\)

\(\Leftrightarrow HC=8\sqrt{37}\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{17\sqrt{37}}{2}\left(cm\right)\)

a, \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=10\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(\cos B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2}{3}\approx48^0\Rightarrow\widehat{B}\approx48^0\\ \Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\approx90^0-48^0=42^0\)

b, Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{20\sqrt{5}}{30}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{40}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC : 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{AB\cdot AC}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{4AB}{3}\right)^2}}{AB\cdot\dfrac{4AB}{3}}=\dfrac{5AB}{4}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{4\cdot\dfrac{12}{5a}}{5}=\dfrac{48}{25}a\)

\(BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}=\dfrac{AB\cdot\dfrac{4}{3}AB}{\dfrac{5}{4}\cdot AB}=\dfrac{16}{15}AB=\dfrac{16}{15}\cdot\dfrac{48}{25}\cdot a=2.048a\)

Bài 2: 

b: \(AH\cdot\left(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\right)\)

\(=AH\cdot\left(\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}\right)\)

\(=AH\cdot\dfrac{BC}{AH}=BC\)

a, Xét Δ AHC vuông tại H, có :

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

=> \(AB^2=12^2+9^2\)

=> \(AB^2=225\)

=> AB = 15 (cm)

Xét Δ AHC vuông tại H, có :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

=> \(AC^2=12^2+16^2\)

=> \(AC^2=400\)

=> AC = 20 (cm)

Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go đảo)

=> Δ ABC vuông tại A