Ta có : x² + 9y² + 4z² - 2x + 12y - 4z + 20 = 0

    => ( x² - 2x +1 ) + ( 9y² + 12y + 4 ) + ( 4z² - 4z +1 ) + 14 = 0

    => ( x - 1 )²  +  ( 3y + 2 )²  +  ( 2z - 1 )²  +  14  = 0

Mà  :  

Suy ra :  ( x - 1 )²  +  ( 3y + 2 )²  +  ( 2z - 1 )²   >= 0

         => ( x - 1 )²  +  ( 3y + 2 )²  +  ( 2z - 1 )²   +  14  >=  14

Mặt khác :   ( x - 1 )²  +  ( 3y + 2 )²  +  ( 2z - 1 )²   +  14 =  x² + 9y² + 4z² - 2x + 12y - 4z + 20  = 0  ( Vô lí )

Vậy : Không có giá trị x , y, z nào thỏa mãn 

\(a,\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{7}{4}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0\\ \Leftrightarrow x,y\in\varnothing\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\ge\dfrac{7}{4}>0\right]\\ b,\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2+12y+4\right)+\left(4z^2-4z+1\right)+14=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14=0\\ \Leftrightarrow x,y,z\in\varnothing\left[\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14\ge14>0\right]\)

\(c,\Leftrightarrow-\left(x^2-10xy+25y^2\right)-\left(y^2-20y+100\right)-50=0\\ \Leftrightarrow-\left(x-5y\right)^2-\left(y-10\right)^2-50=0\\ \Leftrightarrow x,y\in\varnothing\left[-\left(x-5y\right)^2-\left(y-10\right)^2-50\le-50< 0\right]\)

a) = (x² - 2xy +y²) + (x² +x +2)

=(x-y)² + (x+1/2)² +7/4 >0 với mọi x,y

=> không tồn tại các số x,y thỏa mãn hằng đẳng thức đã cho.

b) = (x²-2x+1)+(9y²+12y+4)+(4z²-4z+1) + 14=(x-1)²+(3y+2)²+(2z+1)²+14>0 với mọi x,y ,z

=> không tồn tại giá trị x,y,z thỏa mãn đẳng thức đã cho

Bài 1:

$A=2x^2+y^2-2xy+x+2=(x^2+y^2-2xy)+(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{7}{4}$

$=(x-y)^2+(x+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}$

Vì $(x-y)^2\geq 0; (x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x,y$

$\Rightarrow A\geq 0+0+\frac{7}{4}=\frac{7}{4}$
Vậy $A_{\min}=\frac{7}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x-y=x+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{-1}{2}$

Bài 2:

$B=x^2+9y^2+4z^2-2x+12y-4z+20$

$=(x^2-2x+1)+(9y^2+12y+4)+(4z^2-4z+1)+14$

$=(x-1)^2+(3y+2)^2+(2z-1)^2+14$
Vì $(x-1)^2\geq 0; (3y+2)^2\geq 0; (2z-1)^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$

$\Rightarrow B\geq 0+0+0+14=14$

Vậy $B_{\min}=14$. Giá trị này đạt được khi $x-1=3y+2=2z-1=0$

$\Leftrightarrow x=1; y=\frac{-2}{3}; z=\frac{1}{2}$

Bài 3:

$C=-x^2-26y^2+10xy-20y-150$
$-C=x^2+26y^2-10xy+20y+150$

$=(x^2+25y^2-10xy)+(y^2+20y+10^2)+50$

$=(x-5y)^2+(y+10)^2+50$
Vì $(x-5y)^2\geq 0; (y+10)^2\geq 0$ với mọi $x,y$

$\Rightarrow -C=(x-5y)^2+(y+10)^2+50\geq 0+0+50=50$

$\Rightarrow C\leq -50$

Vậy $C_{\max}=-50$. Giá trị này đạt được khi $x-5y=y+10=0$

$\Leftrightarrow y=-10; x=-50$

a. \(x^2+4y^2+z^2=2x+12y-4z-14\)

\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+z^2-2x-12y+4z+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2-12y+9\right)+\left(z^2+4z+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y-3\right)^2+\left(z+2\right)^2=0\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(2y-3\right)^2\ge0\\\left(z+2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\2y-3=0\\z+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{3}{2}\\z=-2\end{matrix}\right.\)

b. \(x^2+3y^2+2z^2-2x+12y+4z+15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+3\left(y^2+4y+4\right)+2\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+3\left(y+2\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+2=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\\z=-1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$z^2+2x^2+6xy+20+4z+9y^2-8x=0$

$\Leftrightarrow (z^2+4z+4)+(x^2+6xy+9y^2)+(x^2-8x+16)=0$

$\Leftrightarrow (z+2)^2+(x+3y)^2+(x-4)^2=0$

Vì $(z+2)^2\geq 0; (x+3y)^2\geq 0; (x-4)^2\geq 0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{R}$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(z+2)^2=(x+3y)^2=(x-4)^2=0$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z+2=0\\ x+3y=0\\ x-4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=-2\\ x=4\\ y=\frac{-4}{3}\end{matrix}\right.\)