chox,y,z>0 và x+y+z=3 CMR
P=\(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\ge1\)
Cho 3 số thực x,y,z#0, đôi một phân biệt và thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
Tính P= \(\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{zx}{y^2+2zx}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}\)
Giúp Mình Với :33
Lời giải:
Từ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$
$\Rightarrow xy+yz+xz=0$
Khi đó:
$x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=(x^2-xy)-(xz-yz)=x(x-y)-z(x-y)=(x-z)(x-y)$
Tương tự với $y^2+2zx, z^2+2xy$ thì:
$P=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$
$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{-[yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)]}{-[xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)]}=1$
cho x,y,z ≠0 và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). . CMR: \(\left(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)=xy+yz+zx\)
cho 3 so thoa man \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
CM: \(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}=0\)
ĐK: \(x,y,z\ne0\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-xz-yz\\xz--xy-yz\\yz=-xy-xz\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-xz=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2yz}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+2xz}=\dfrac{1}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2xz}+\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\dfrac{y-z-\left(x-z\right)+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{y-z-x+z+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=0\) (đpcm)
CMR; \(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\)>= 9
với x;y;z >0 và x+y+z=1 (x;y;z có thể là phân số)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Cho \(a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}=x\)
\(Tính\) \(P=\dfrac{2022\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}\)
Cho 3 số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn đk 1/x+1/y+1/z = 0 . Tính giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{zx}{y^2+2zx}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(A=\frac{yz}{x^2+yz+-xy-xz}+\frac{xz}{y^2+zx-xy-yz}+\frac{xy}{z^2+xy-xz-yz}\)
\(A=\frac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{xz}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(A=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(A=\frac{\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=1\)
Cho các số x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=1
Tính giá trị biểu thức
\(M=\dfrac{1}{x^2+2yz-1}+\dfrac{1}{y^2+2zx-1}+\dfrac{1}{z^2+2xy-1}\)
Cho x, y,z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) Tính giá trị biểu thức \(A=\left(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^3+y^5+z^7\right)\)
Cho 3 số dương x; y; z thỏa mãn xyz = 1.
Tính giá trị của biểu thức
M = \(\dfrac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}+\dfrac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}+\dfrac{z+2zx+1}{z+zx+z+1}\)