Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) .
a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).
b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Câu 20: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho điểm I(4;3), đường thăng d:3x+4y-4=0 và đường tròn (C):x²+y²-2x+6y-2=0.
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính R của đường tròn (C).
b) Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A(-4;1)
c) Viết phương trình đườNg tròn (C') có tâm là I và cắt d tại hai điếm M, N sao cho MN =6
a) Để tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn ©, ta cần viết lại phương trình của nó dưới dạng chuẩn:
\begin{align*}
x^2 + y^2 - 2x + 6y - 2 &= 0 \
\Leftrightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 &= 14
\end{align*}
Vậy, tọa độ tâm của đường tròn © là $(1,-3)$ và bán kính của đường tròn © là $\sqrt{14}$.
b) Đường tròn có tâm $I(4,3)$ và đi qua $A(-4,1)$ có phương trình là:
$$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (-4-4)^2 + (1-3)^2 = 20$$
c) Để tìm phương trình đường tròn (C') có tâm là $I(4,3)$ và cắt đường thẳng $d: 3x+4y-4=0$ tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MN=6$, ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm $H$ của đường thẳng $d$ và đường vuông góc với $d$ đi qua $I$.Tìm hai điểm $M$ và $N$ trên đường thẳng $d$ sao cho $HM=HN=3$.Xây dựng đường tròn (C') có tâm là $I$ và bán kính bằng $IN=IM=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Để tìm giao điểm $H$, ta cần tìm phương trình của đường thẳng vuông góc với $d$ đi qua $I$. Đường thẳng đó có phương trình là:
$$4x - 3y - 7 = 0$$
Giao điểm $H$ của đường thẳng này và $d$ có tọa độ là $(\frac{52}{25}, \frac{9}{25})$.
Để tìm hai điểm $M$ và $N$, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa điểm và đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $d$ là:
$$d(H,d) = \frac{|3\cdot \frac{52}{25} + 4\cdot \frac{9}{25} - 4|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$$
Vậy, hai điểm $M$ và $N$ cách $H$ một khoảng bằng $\frac{3}{5}$ và $\frac{4}{5}$ đơn vị theo hướng vuông góc với $d$. Ta có thể tính được tọa độ của $M$ và $N$ như sau:
$$M = \left(\frac{52}{25} - \frac{4}{5}\cdot 4, \frac{9}{25} + \frac{3}{5}\cdot 3\right) = \left(\frac{12}{25}, \frac{54}{25}\right)$$
và
$$N = \left(\frac{52}{25} + \frac{4}{5}\cdot 4, \frac{9}{25} + \frac{4}{5}\cdot 3\right) = \left(\frac{92}{25}, \frac{27}{5}\right)$$
Cuối cùng, phương trình đường tròn (C') có tâm là $I(4,3)$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MN=6$ là:
$$(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$$
Câu 20: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho điểm I(4;3), đường thăng d:3x+4y-4=0 và đường tròn (C):x²+y²-2x+6y-2=0.
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính R của đường tròn (C).
b) Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A(-4;1)
c) Viết phương trình đườNg tròn (C') có tâm là I và cắt d tại hai điếm M, N sao cho MN =6
Giải thích cụ thể câu c cho mình.
a: (C): x^2+y^2-2x+6y-2=0
=>x^2-2x+1+y^2+6y+9-12=0
=>(x-1)^2+(y+3)^2=12
=>I(1;-3);\(R=2\sqrt{3}\)
b: I(1;-3); A(-4;1)
=>\(IA=\sqrt{\left(-4-1\right)^2+\left(1+3\right)^2}=\sqrt{34}\)
(C1): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=34\)
Câu 20: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho điểm I(4;3), đường thăng d:3x+4y-4=0 và đường tròn (C):x²+y²-2x+6y-2=0.
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính R của đường tròn (C).
b) Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A(-4;1)
c) Viết phương trình đườNg tròn (C') có tâm là I và cắt d tại hai điếm M, N sao cho MN =6
Giải thích cụ thể câu c cho mình.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu mối liên hệ giữa x và y để:
a) Điểm M(x ; y) nằm trên đường tròn tâm O(0 : 0) bán kính 5.
b) Điểm M(x ; y) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.
a) Mối liên hệ giữa x và y là: \({x^2} + {y^2} = 5\)
b) Mối liên hệ giữa x và y là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 3 = 0 . Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
A. I(4; -6), R = 4
B. I(-2; 3), R = 16
C.I(-4; 6), R = 4
D. I(-2; 3) , R = 4
Ta có x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 3 = 0 ⇔ x + 2 2 + y − 3 2 = 16 nên đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 4.
Chú ý. Học sinh có thể áp dụng công thức tính tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình tổng quát của đường tròn
ĐÁP ÁN D
Đường tròn x^2+y^2-4x-6y=12 có tâm I và bán kính R. Với O là gốc tọa độ, mệnh đề nào đúng?
A.OI>R
B. OI=R
C.5OI=R4,123
D.5OI=R3,742
Pt đường tròn đã cho có thể viết dưới dạng:
\(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=25\)
Ta tìm được tọa độ tâm I là \(I\left(2;3\right)\). Do đó \(OI=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\).
Đồng thời \(R=5\)
Ta có \(\dfrac{OI}{R}=\dfrac{\sqrt{13}}{5}\Leftrightarrow5OI=R\sqrt{13}\approx R.3,606\)
(Bạn xem lại đề nhé, với kết quả này thì mình không thấy mệnh đề nào trong 4 mệnh đề kia đúng cả.)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2+ -4x-6y-12=0 Gọi M là điểm trên d: 2x-y+3=0 sao cho MI = 2R sao cho MI = 2R với I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Tổng hoành độ các điểm M thỏa mãn là
A.1/4
B. 4/5
C. -1/5
D. -4/5
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;-1),B(4;-5;-5) và mặt phẳng (P):x+y+z-3=0. Mặt cầu (S) thay đổi qua hai điểm A,B và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H và bán kính bằng 3. Biết rằng H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.
A. 21 .
B. 2 6 .
C. 6.
D. 3 3 .
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 64\)
b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\)
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\)
a) Phương trình đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 64\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) nên đường tròn có tâm là \(I(2;7)\) và bán kinh \(R = \sqrt {64} = 8\)
b) Phương trình đường tròn \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) nên đường tròn có tâm là \(I( - 3; - 2)\) và bán kinh \(R = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \)
c) Phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) nên đường tròn có tâm là \(I(2;3)\) và bán kinh \(R = \sqrt {{2^2} + {3^2} + 12} = 5\)