Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {135^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
a.
A. \(S = \frac{1}{2}ca\)
B. \(S = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}ac\)
C. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc\)
D. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {135^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
b.
A. \(R = \frac{a}{{\sin A}}\)
B. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b\)
C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\)
D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)
Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
=> \(R = \frac{a}{{2\sin A}}\) => A sai.
\(R = \frac{b}{{2\sin B}}=\frac{b}{{2\sin 135^o}}=\frac{{\sqrt 2 }}{2}b\) => B đúng.
C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)
D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)
Chọn B
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {135^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
c.
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)
B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)
C. \(\sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)
D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\) (Loại)
Vì: Theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)
Không đủ dữ kiện để suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)
B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\) (Loại)
Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \nRightarrow \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)
C. \(\sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)(sai vì theo câu a, \(\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\))
D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)
Theo định lý cos ta có:
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\) (*)
Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}\).
Thay vào (*) ta được: \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}\)
=> D đúng.
Chọn D
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).
a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:
\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \).
\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2})(2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)} \end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)\\a - b + c = 2p - 2b = 2(p - b)\\a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p - a).2p.2(p - b).2(p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p - a).p.(p - b).(p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}\)
b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)
Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\end{array}\)
bài 1.
cho tam giác abc. trên cạnh ab lấy 2 điểm d và e sao cho ad=de=eb. trên cạnh bc lấy 2 điểm m,n sao cho bm = mn=nc. tam giác abc có S 180 cm2
a) tính S tam giác ebc
b) tính S tam giác aemn
vẽ hình ra hộ mk nhed!
bài 2.
a) tính nhanh( ko QĐMS)
A=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+.+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\left(\right)\)
b)tìm các chữ số a,b,c biết \(\sqrt{8abc}:\sqrt{abc=65}\)
Bài 2 b sai đề thì phải ???
Ta có : \(\sqrt{8abc}:\sqrt{abc}=65\)
=> \(\sqrt{8abc:abc}=65\)
=> 8abc : abc = 65x65
=> 8000 : abc + abc : abc = 4225
=> 8000 : abc + 1 = 4225
=> 8000 : abc = 4224
abc = 8000 : 4224 = \(\frac{125}{66}\)
Sai đề ???
Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. CMR: \(S\le\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
Lời giải:
Theo công thức Herong thì:
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)
Do vậy ta cần CM: \(\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^3(a+b-c)^3(b+c-a)^3(c+a-b)^3\leq 27(abc)^4\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b-c=x\\ b+c-a=y\\ c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x+z}{2}\\ b=\frac{x+y}{2}\\ c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Điều cần CM trở thành: \(\frac{4096}{27}(x+y+z)^3(xyz)^3\leq [(x+y)(y+z)(x+z)]^4\)
----------------------------------------------
Thật vậy:
Ta có bổ đề quen thuộc: \((x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)
\(\Rightarrow [(x+y)(y+z)(x+z)]^4\geq \frac{4096}{9^4}(xy+yz+xz)^4(x+y+z)^4\)
Mà theo BĐT AM-GM:
\( \frac{4096}{9^4}(xy+yz+xz)^4(x+y+z)^4=\frac{4096}{27}(x+y+z)^3.\frac{(xy+yz+xz)^4(x+y+z)}{243}\)
\(\geq \frac{4096}{27}(x+y+z)^3.\frac{(3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}]^4.3\sqrt[3]{xyz}}{243}=\frac{4066}{27}(x+y+z)^3(xyz)^3\)
Do đó: \([(x+y)(y+z)(x+z)]^4\geq \frac{4066}{27}(x+y+z)^3(xyz)^3\) (đpcm)
Vậy............
Cho tam giác ABC có diện tích S, các cạnh là a,b,c. Chứng minh: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\ge\frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}\)
Đặt \(\left(a+b-c;a-b+c;-a+b+c\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{x+y+z}{2}\) ; \(p-a=\frac{-a+b+c}{2}=\frac{z}{2}\) ...
\(\Rightarrow S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{xyz\left(x+y+z\right)}{16}}=\frac{1}{4}\sqrt{xyz\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{S}=\frac{1}{2}\sqrt[4]{xyz\left(x+y+z\right)}\)
BĐT trở thành:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[4]{\frac{3}{xyz\left(x+y+z\right)}}\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Nên chỉ cần chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\sqrt[4]{\frac{3}{xyz\left(x+y+z\right)}}\)
Mũ 12 hai vế: \(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(xyz\right)^4}\ge\frac{27}{\left(xyz\right)^3\left(x+y+z\right)^3}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27xyz\)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM
Dấu "=" xảy ra khi tam giác đều
Cho a; b; c là các số dương thoả mãn: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=4\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2\sqrt{bc}+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}+\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{ab}}\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Cho tam giác O là 1 điểm bất kì trog tam giác dựng đường cao DE, FK,MN tương ứng song song AB,AC,BC sao cho F,M nằm trên AB. E,K nằm trên BC. N,D nằm trên AC . b) đặt S1 =SMF, S2 = SOEK, S3 = SODN, S= SABC.
CMr S=\(\left(\sqrt{S1}+\sqrt{S2}+\sqrt{S3}\right)^2\)
a) CMR \(\frac{AF}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CN}{CA}=1\)
Đọc đề hiểu chết liền :< dựng đường cao DE,FK,MN tương ứng // AB,AC,BC???
vẽ cái hình xem sao bạn
cho a,b,c> 0 thỏa mãn a+b+c = abc. Tìm GTLN của
\(S=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Lời giải:
Ta có:
$a+b+c=abc\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc$
$\Leftrightarrow bc+a(a+b+c)=bc(a^2+1)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$
$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(a^2+1)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $S_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$