Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (\(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\)) và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AK của (O). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường thẳng AK. Kẻ đường cao AD của \(\Delta ABC\).

a, Cm: 4 điểm A,C,F,D cùng thuộc một đường tròn và DF ⊥ AB

b, Cho 2 điểm B, C cố định và A di động tên cung lớn BC của đường tròn (O) (A≠B; A≠C) sao cho ΔABC có 3 gốc nhọn và \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\). Chứng mình đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Không dùng máy tính chứng minh: \(\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2015}}>21,5\)

có thể thay 21,5 bằng một giá trị khác lớn hơn được không? Vì sao?

Cho pt: \(\left(x-1\right)^2=2\left|x-k\right|\)

a, giải pt với k = 3

b, tìm tất cả các gt của k để pt có 4 nghiệm phân biệt

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. CMR: \(S\le\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz. Cmr:

\(A=\frac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{xz}+\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}=0\)

giải hệ pt:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+y^2+y=3-xy\\xy+x+2y=1\end{matrix}\right.\)