Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dam thu a

cho a,b,c> 0 thỏa mãn a+b+c = abc. Tìm GTLN của

\(S=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Akai Haruma
24 tháng 2 2020 lúc 15:41

Lời giải:

Ta có:

$a+b+c=abc\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc$

$\Leftrightarrow bc+a(a+b+c)=bc(a^2+1)$

$\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(a^2+1)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy $S_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Trần Khánh Huyền
Xem chi tiết
Trần Quang Nghĩa
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc
Xem chi tiết