Question

Cho a>0, b>0 và c>0. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
A = \(\frac{a}{a+\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{b+\sqrt[]{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{c+\sqrt[]{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)\(\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(2)

\(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)

Cộng theo vế của (1);(2)&(3) ta đc:

A\(\le1\)

Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c