Tham khảo:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {135^o}\), H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Ta có: \(\widehat {MOy} = {135^o} - {90^o} = {45^o}\).

Tam giác OMH vuông cân tại H nên \(OH = MH = \frac{{OM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy tọa độ điểm M là \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

Vậy theo định nghĩa ta có:

 \(\begin{array}{l}\;\sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\;\cos {135^o} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\\;\tan {135^o} =  - 1;\;\;\cot {135^o} =  - 1.\end{array}\)

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({135^o}\)

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính \(\sin {135^o}\), bấm phím:  sin  1  3  5  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tính \(\cos {135^o}\),bấm phím:  cos  1  3  5  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

Tính \(\tan {135^o}\), bấm phím:  tan  1  3  5  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \( - 1\)

(Để tính \(\cot {135^o}\), ta tính \(1:\tan {135^o}\))

a) \(\left\{{}\begin{matrix}sin120^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\cos120^o=-\dfrac{1}{2}\\tan120^o=-\sqrt{3}\\cot120^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}sin150^o=\dfrac{1}{2}\\cos150^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\tan150^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\cot150^o=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}sin180^o=0\\cos180^o=-1\\tan180^o=0\\cot180^o\left(\varnothing\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\begin{array}{l}\sin {120^o} = \sin \;({180^o} - {60^o}) = \sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\\cos {150^o} =  - \cos \;({180^o} - {30^o}) =  - \cos {30^o} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\\cot {135^o} =  - \cot \;({180^o} - {45^o}) =  - \cot {45^o} =  - 1.\end{array}\)

\(\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2};\,\,\cot \left( {45^\circ } \right) = 2\)

Các giá trị lượng giác của góc 120o là:

sin 120º = sin (180º – 60º) = sin 60º = √3/2.

cos 120º = cos(180º – 60º) = –cos 60º = –1/2

tan 120º = sin 120º / cos 120º = –√3

cot 120º = cos 120º / sin 120º = –1/√3

Các giá trị lượng giác của góc 150º là:

sin 150º = sin ( 180º – 30º ) = sin 30º = 1/2

cos 150º = –cos ( 180º – 30º ) = –cos 30º = (–√3)/2

tan 150º = sin 150º / cos 150º = –1/√3

cot 150º = cos 150º / sin 150º = –√3.

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0o ≤ α ≤ 180o.

a)  x O t ^ = 60 °

b)  x O t ^  lớn nhất là 90 °

a) Do MN song song với Ox nên \(\alpha  = \widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \widehat {NOx'}\)

Mà \(\widehat {xON} = {180^o} - \widehat {NOx'} = {180^o} - \alpha \)

\( \Rightarrow \widehat {xON} = {180^o} - \alpha \)

b) Dễ thấy: Điểm N đối xứng với M qua trục Oy

\( \Rightarrow N( - {x_0};{y_0})\)

Lại có: điểm N biểu diễn góc \({180^o} - \alpha \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = {y_N} = {y_0}\\\cos ({180^o} - \alpha ) = {x_N} =  - {x_0}\end{array} \right.\);

Mà: \(\sin \alpha  = {y_0};\;\cos \alpha  = {x_0}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \;\\\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan ({180^o} - \alpha ) =  - \tan \alpha \;\\\cot ({180^o} - \alpha ) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\)