ta co \(BH+CH=BC\Rightarrow BC=6\)

lai co \(AH^2=BH\cdot CH\Rightarrow AH=\sqrt{8}\)

mat khac \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\Rightarrow AB\cdot AC=6\sqrt{8}\)

b,phan1 cos^3 BH la j 

2 \(AH^2=BH\cdot CH\Rightarrow AH^4=BH^2\cdot CH^2\)

 ma \(BH^2=BD\cdot AB,HC^2=EC\cdot AC\)

\(\Rightarrow AH^4=BD\cdot AB\cdot EC\cdot AC\)

nhung\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\) nên ta có \(AH^4=BD\cdot EC\cdot AH\cdot BC\Rightarrow AH^3=DB\cdot EC\cdot BC\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

a) Ta có: \(BC=BH+CH=2+4=6\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC=4.6=24\Rightarrow AB=2\sqrt{6}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC=2.6=12\Rightarrow AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Ta có: \(BC.cos^3B=BC.\dfrac{AB^3}{BC^3}=\dfrac{AB^3}{BC^2}\)

Ta có: \(AB^4=\left(AB^2\right)^2=\left(BH.BC\right)^2=BH^2.BC^2=BD.BA.BC^2\)

\(\Rightarrow AB^3=BD.BC^2\Rightarrow BD=\dfrac{AB^3}{BC^2}=BC.cos^3B\)

Vì \(\angle HDA=\angle HEA=\angle DAE=90\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow DE=AH\)

Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BD.BA.CE.CA=BD.CE.\left(AB.AC\right)=BD.CE.AH.BC\)

\(\Rightarrow AH^3=BD.CE.BC\Rightarrow DE^3=BD.CE.BC\)

ta có 

lại có  

mặt khác  

b,phan1 cos^3 BH la j 

2 

 ma 

nhung nên ta có 

a: BC=BH+CH

=2+8

=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{2\cdot8}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2\cdot10}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{8\cdot10}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

c: ΔHDB vuông tại D 

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=HM=MB

\(\widehat{EDM}=\widehat{EDH}+\widehat{MDH}\)

\(=\widehat{EAH}+\widehat{MHD}\)

\(=90^0-\widehat{C}+\widehat{C}=90^0\)

=>DE vuông góc DM