a. Ta có: \(\widehat{HAB}+\widehat{HAD}=\widehat{BAD}\)

\(\widehat{HAC}-\widehat{HAD}=\widehat{DAC}\)

Vì AD là tia phân giác của góc BAC => \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\) =.> ĐPCM

b. Xét tam giác HAC có \(\widehat{AHC}+\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=180\text{đ}\text{ộ}\)

=>\(\widehat{HAC}=180^o-\widehat{AHC}-\widehat{HCA}\)

Xét tam giác HAB có \(\widehat{HAB}+\widehat{ABH}+\widehat{BHA}=180^o\)

=> \(\widehat{HAB}=180^o-\widehat{ABH}-\widehat{BHA}\)

Ta có: \(\widehat{HAC}-\widehat{HAB}=180^o-\widehat{AHC}-\widehat{HAC}-\left(180^o-\widehat{ABH}-\widehat{BHA}\right)\)

\(=180^o-90^o-\widehat{HCA}-180^o+\widehat{ABH}+90^o\)

\(=180^o-180^o+90^o-90^o+\widehat{ABH}-\widehat{HCA}\)

\(=\widehat{ABH}-\widehat{HCA}=>\text{Đ}PCM\)

c. Ta có: \(\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\right)=\dfrac{\widehat{ABC}-\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{\widehat{HAC}-\widehat{HAB}}{2}\)

\(=\dfrac{2\widehat{DAH}}{2}=\widehat{DAH}=>\text{Đ}pcm\)

b: Vì góc ABC là góc ngoài cua ΔAHB

nên góc ABC=góc AHB+góc HAB=90 độ+góc HAB

Xét ΔHAC vuông tại H có góc HAC+góc ACB=90 độ

=>góc ACB=90 độ-góc HAC

c: 1/2(góc ABC-góc ACB)

=1/2(180 độ-góc ABH-90 độ+góc HAC)

=1/2(90 độ-góc ABH+góc HAC)

=góc DAH

Trong ΔABC ta có ∠AC > ∠AB (gt)

Suy ra: ∠B > ∠C (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Trong ΔAHB có ∠(AHB) = 90o

Suy ra: ∠B + ∠(HAB) = 90o (tính chất tam giác vuông) (1)

Trong ΔAHC có ∠(AHC) = 90o

Suy ra: ∠C + ∠(HAC) = 90o (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠B + ∠(HAB) = ∠C + ∠(HAC)

Mà ∠B > ∠C nên ∠(HAB) < ∠(HAC) .

a)

Xét 2 tam giác vuông ABC và HAC có:

\(\widehat{C}\) chung

=> tg ABC \(\sim\) td HAC (g.g)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\)

b)

Xét 2 tg vuông ACB và HAB có:

\(\widehat{B}\) chung

=> tg ACB \(\sim\) tg HAB (g.g)

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\)

Ta có: AB < AC (gt)

Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn)

* Trường hợp góc B nhọn

Trong Δ ABC, ta có: AB < AC

Suy ra: góc B > góc C(đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Trong Δ AHB, ta có góc AHB = \(90^0\)

Suy ra: góc B + góc HAB = \(90^0\) (tính chất tam giác vuông) (1)

Trong Δ AHC, ta có góc AHC = \(90^0\)

Suy ra: góc C + góc HAC = \(90^0\) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: góc B + góc HAB) = góc C + góc HAC

Mà góc B > góc C nên góc HAB < góc HAC

* Trường hợp Btù

Vì điểm B nằm giữa H và C nên góc HAC = góc HAB + góc BAC

Vậy góc HAB < góc HAC.

- Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{CAE}=90^0\) (AB⊥AC tại A).

\(\widehat{AEH}+\widehat{HAE}=90^0\) (△AHE vuông tại H).

Mà \(\widehat{CAE}=\widehat{HAE}\) (AE là phân giác của \(\widehat{HAC}\)).

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{AEH}\).

=>△ABE cân tại B.

=>\(AB=BE\).

- Ta có: \(\widehat{DAC}+\widehat{BAD}=90^0\) (AB⊥AC tại A).

\(\widehat{HAD}+\widehat{ADH}=90^0\) (△AHE vuông tại H).

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\) (AD là phân giác của \(\widehat{HAB}\)).

=>\(\widehat{DAC}=\widehat{ADH}\).

=>△ACD cân tại C.

=>\(AC=CD\).

- Xét △ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py-ta-go).

=>\(BC^2=5^2+12^2\).

=>\(BC^2=169\).

=>\(BC=13\) (cm).

\(AB+AC-BC=BE+CD-BC=BE+CD-BE-CE=CD-CE=DE\)=>\(DE=5+12-13=4\) (cm).