Xét ΔHAM và ΔKCM có:

góc MHA = góc MKC (=90 độ)

AM = CM (gt)

góc AMH = góc CMK (2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔHAM = ΔKCM (canh huyền-góc nhọn)

a: XétΔHAM vuông tại H và ΔKCM vuông tại K có

MA=MC

góc HMA=góc KMC

=>ΔHAM=ΔKCM

b: (BH+BK)/2=(2*BH+HK)/2=BH+HM=BM>AB

a) Tam giác ABC cân tại A có đường cao AH xuất phát từng đỉnh nên đồng thời là đường trung tuyến.

Từ đó H là trung điểm BC. Có ngay: DH là đường trung bình nên DH// AC -> Tứ giác ADHC là hình thang. 

b) Chứng minh AN \(\perp\) HM

 Gọi giao điểm của AN và HM là F. Cần chứng minh ^AFH = 90^o.

Tới đây tịt ngòi rồi:(( khi nào nghĩ ra làm tiếp:v

Làm nốt bài tth_new nha.

Xét tam giác EHC có NH là đường trung bình nên \(NM//HC\Rightarrow NM\perp AH\)

Mà \(HE\perp AC\) nên N là trực tâm.Khi đó \(AN\perp HM\)

Ta có : ΔABC vuông tại A(gt)

AM là đường trung tuyến ứng với BC ( M là trung điểm BC )

⇒ AM = BM ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong Δ vuông)

⇒ ΔAMB cân tại M

 \(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}\left(1\right)\)

\(HI\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{HIA}=90^o\)

\(HK\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{HKA}=90^o\)

\(\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AIHK\)có \(\widehat{A}=\widehat{HIA}=\widehat{HKA}=90^o\)

=> AIHK là hình CN ( dấu hiệu nhân biết )

Gọi N là giao điểm IK ; AH

=> NI = NA ( TÍnh chất hình chữ nhật) ⇒ ΔANI cân tại N 

 \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{IAN}\left(3\right)\)Lại có \(\widehat{A_2}=\widehat{B}\)( cùng phụ với \(\widehat{C}\)) ( 2 )

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A}_2\left(4\right)\)Lại có : \(\widehat{IAN}+\widehat{A_2}=\widehat{A}=90^o\left(5\right)\)

Từ 3 ; 4 ; 5 

\(\Rightarrow\widehat{I_1}+\widehat{A_1}=90^o\)mà \(\widehat{I_1}+\widehat{A_1}+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow90^o+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{INA}=90^o\Rightarrow AM\perp IK\left(đpcm\right)\)

a) Ta có \(BC^2=10^2=100\)

\(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

b) Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMK\) có:

\(\widehat{BKM}=\widehat{CKM}=90^0\) (gt)

\(BK=CK\) (gt)

\(KM\) chung

\(\Rightarrow\Delta BKM=\Delta CKM\) (c.g.c) \(\Rightarrow BM=CM\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\)

\(MB=MC\) (đã chứng minh)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\) (ch-gn) \(\Rightarrow AB=DC\) (hai cạnh tương ứng)

c) Gọi \(AB\cap CD=I\)

Tam giác \(IBC\) có \(\left\{{}\begin{matrix}CA\perp BI\\BD\perp CI\\CA\cap BD=M\end{matrix}\right.\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác \(BCI\)

\(\Rightarrow IM\perp BC\) mà \(KM\perp BC\Rightarrow I\in KM\)

Vậy \(AB,CD,KM\) đồng quy tại \(I\)