a: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}>=0\forall a,b\)

\(\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall b\)

Do đó: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}+\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall a,b\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+3=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2b-3=2\cdot1-3=-1\end{matrix}\right.\)

Thay a=-1 và b=1 vào P, ta được:

\(P=\left(-1\right)^{2023}\cdot1^{2024}+2024=2024-1=2023\)

Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ là số thực thì:

$(x-y+z)^2\geq 0$

$\sqrt{y^4}\geq 0$

$|1-z^3|\geq 0$

$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Kết hợp $(x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\leq 0$

$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|=0$

Điều này xảy ra khi: $x-y+z=y^4=1-z^3=0$

$\Leftrightarrow y=0; z=1; x=-1$

Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)

<=> (xy)² + (yz)² + (zx)² + 2xyz = (xyz)² 

<=> (xy)² + (yz)² + (xz)² + 2xyz(x + y + z) = (xyz)² 

<=> (xy + yz + zx)² = (xyz)² 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)

+) Khi xy + yz + zx = -xyz 

=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)

=> xy + yz + zx = xyz 

<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)

<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)

Khi x = -y => y = 1 => P = 1

Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1

Vậy P = 1 

\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)

=>\(4x^2+8xy+4y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1=0\)

=>\(4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

=>x=1 và y=-1

\(M=\left(1-1\right)^{2023}+\left(1-2\right)^{2024}+\left(-1+1\right)^{2025}=1\)

Help me plsssssssssss

Ta có: `a^2+2023=a^2+ab+bc+ca=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(c+a)`

Do vai trò ba biến `a,b,c` như nhau nên ta có: `b^2+2023=(b+c)(a+b);c^2+2023=(c+a)(b+c)`

`=>A=\sqrt(((a+b)(b+c)(c+a))^2)=|(a+b)(b+c)(c+a)|\inQQ`

Ta có: a²+2023 = a²+ab+bc+ca
                         = a(a+b) + c(b+a)
                         = (a+b)(a+c)
CM tương tự ta đc: b²+2023= (b+c)(b+a)
                                c²+2023 = (c+a)(c+b)

 Ta được: A= \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)                A= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
                A= \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\)
Vì a,b,c là các số hữu tỉ (đb) nên (a+b)(a+c)(b+c) là các số hữu tỉ (đpcm)