Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2023}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2023}\right)=2023\)
Tính (x+y)2023
Help me plsss
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2023}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2023}\right)=2023
\)
Tính (x+y)2023
Helpppppppppp
Để tính (x+y)2023, ta sẽ sử dụng công thức nhân đa thức. Trước tiên, ta mở đuôi công thức:(x+y)2023 = (x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)Từ phép nhân đầu tiên, ta có:(x+y)(x+y) = x^2 + 2xy + y^2Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:(x^2 + 2xy + y^2)(x+y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3Lặp lại quá trình này 2020 lần nữa, ta có:(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)(x+y) = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4)(x+y) = x^5 + 5x^4y + 10x^3
Để tính (x+y)2023, ta sẽ sử dụng công thức nhân đa thức.
Trước tiên, ta mở đuôi công thức:
(x+y)2023 = (x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)
Từ phép nhân đầu tiên, ta có:
(x+y)(x+y) = x^2 + 2xy + y^2
Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:
(x^2 + 2xy + y^2)(x+y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
Lặp lại quá trình này 2020 lần nữa, ta có:
(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)(x+y) = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:
(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4)(x+y) = x^5 + 5x^4y + 10x^3
a, cho a, b là 2 số thoả mãn |a-2b+3|\(^{2023}\) + (b-1)\(^{2024}\) = 0. Tính giá trị biểu thức
P = a\(^{2023}\) x b\(^{2024}\) + 2024
b, 3 số hữu tỉ x,y,z thoả mãn xy+yz+zx = 2023. Chứng tỏ rằng:
A = \(\dfrac{\left(x^2+2023\right)x\left(y^2+2023\right)x\left(z^2+2023\right)}{16}\) viết được dưới dạng bình phương của 1 số hữu tỉ
a: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}>=0\forall a,b\)
\(\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall b\)
Do đó: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}+\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall a,b\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+3=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2b-3=2\cdot1-3=-1\end{matrix}\right.\)
Thay a=-1 và b=1 vào P, ta được:
\(P=\left(-1\right)^{2023}\cdot1^{2024}+2024=2024-1=2023\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(\left(x-y +z\right)^2\)+\(\sqrt{y^4}\)+\(\left|1-z^3\right|\) \(\le\) 0
Chứng minh rằng \(x^{2023}\)+\(y^{2024}\)+\(z^{2025}\)=0
Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ là số thực thì:
$(x-y+z)^2\geq 0$
$\sqrt{y^4}\geq 0$
$|1-z^3|\geq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\geq 0$ với mọi $x,y,z$
Kết hợp $(x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\leq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|=0$
Điều này xảy ra khi: $x-y+z=y^4=1-z^3=0$
$\Leftrightarrow y=0; z=1; x=-1$
\(Cho\left(x+\sqrt{x^2+2018}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2018}\right)=2018\)
Tìm GTNN của \(A=2x^2+3y^2-4x+6y+2023\)
cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\\x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>0\end{matrix}\right.\)
tính P=\(x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}\)
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1
a) cho C = 3 - \(3^2+3^3-3^4+3^5-3^6+...+3^{23}-3^{24}\), chứng minh rằng C \(⋮\) 420
b) tìm x và y biết \(\left(x+1\right)^{2022}+\left(\sqrt{y-1}\right)^{2023}=0\)
Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức : \(x^2+2xy+2y^2+2\sqrt{2}x+2\left(\sqrt{2}+1\right)y+2023\)
Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức \(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\). Tính giá trị của biểu thức
\(M=\left(x+y\right)^{2023}+\left(x-2\right)^{2024}+\left(y+1\right)^{2025}\)
\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)
=>\(4x^2+8xy+4y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1=0\)
=>\(4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)
=>x=1 và y=-1
\(M=\left(1-1\right)^{2023}+\left(1-2\right)^{2024}+\left(-1+1\right)^{2025}=1\)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ t/m ab+bc+ca = 2023
CMR: A=\(\sqrt{a^2+2023\left(b^2+2023\right)\left(c^2+2023\right)}\) cùng là số hữu tỉ
Ta có: `a^2+2023=a^2+ab+bc+ca=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(c+a)`
Do vai trò ba biến `a,b,c` như nhau nên ta có: `b^2+2023=(b+c)(a+b);c^2+2023=(c+a)(b+c)`
`=>A=\sqrt(((a+b)(b+c)(c+a))^2)=|(a+b)(b+c)(c+a)|\inQQ`
Ta có: a2+2023 = a2+ab+bc+ca
= a(a+b) + c(b+a)
= (a+b)(a+c)
CM tương tự ta đc: b2+2023= (b+c)(b+a)
c2+2023 = (c+a)(c+b)
Ta được: A= \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\) A= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
A= \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\)
Vì a,b,c là các số hữu tỉ (đb) nên (a+b)(a+c)(b+c) là các số hữu tỉ (đpcm)