Cho \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right) + {a^{2{{\log }_a}\frac{{\sqrt {105} }}{{30}}}}\).
Đề bài
Cho \(a > 0;a \ne 1;{a^{\frac{3}{5}}} = b\)
a) Viết \({a^6};{a^3}b;\frac{{{a^9}}}{{{b^9}}}\) theo lũy thừa cơ số b
b) Tính \({\log _a}b;\,{\log _a}\left( {{a^2}{b^5}} \right);\,{\log _{\sqrt[5]{a}}}\left( {\frac{a}{b}} \right)\)
a,Ta có: \(a^6=\left(a^{\dfrac{3}{5}}\right)^{10}=b^{10}\\ a^3b=\left(a^{\dfrac{3}{5}}\right)^5\cdot b=b^5\cdot b=b^6\\ \dfrac{a^9}{b^9}=\dfrac{\left(a^{\dfrac{3}{5}}\right)^{15}}{b^9}=\dfrac{b^{15}}{b^9}=b^6\)
b, \(log_ab=log_aa^{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{3}{5}\\ log_a\left(a^2b^5\right)=log_a\left(a^2\cdot a^3\right)=log_a\left(a^5\right)=5\\ log_{\sqrt[5]{a}}\left(\dfrac{a}{b}\right)=5log_a\left(\dfrac{a}{a^{\dfrac{3}{5}}}\right)=5log_a\left(a^{\dfrac{2}{5}}\right)=2\)
Đề bài
Cho \({\log _a}b = 2\). Tính:
a) \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right)\)
b) \({\log _a}\frac{{a\sqrt a }}{{b\sqrt[3]{b}}}\)
c) \({\log _a}(2b) + {\log _a}\left( {\frac{{{b^2}}}{2}} \right)\)
a) \(\log_a\left(a^2b\right)=\log_aa^2+\log_ab=2.\log_aa+\log_ab=2.1+2=4\)
b) \(\log_a\dfrac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{a}}=\log_a\left(a\sqrt{a}\right)-\log_a\left(b\sqrt[3]{b}\right)=\log_aa^{\dfrac{3}{2}}-\log_ab^{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}.\log_aa-\dfrac{4}{3}\log_ab=\dfrac{3}{2}.1-\dfrac{4}{3}.2=-\dfrac{7}{6}\)
c) \(\log_a\left(2b\right)+\log_a\left(\dfrac{b^2}{2}\right)=\log_a2+\log_ab+\log_ab^2-\log_a2=\log_ab+2\log_ab=3\log_ab=3.2=6\)
a: \(=log_aa^2+log_ab=2+2=4\)
b: \(log_a\left(\dfrac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}\right)=log_aa^{\dfrac{3}{2}}-log_ab^{\dfrac{4}{3}}\)
=3/2-4/3*2
=3/2-8/3
=9/6-16/6=-7/6
c: \(log_a\left(2b\right)+log_a\left(\dfrac{b^2}{2}\right)\)
\(=log_a\left(2b\cdot\dfrac{b^2}{2}\right)=log_a\left(b^3\right)=3\cdot2=6\)
Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).
B. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).
C. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).
D. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).
\(log_a\left(a^3b^2\right)=log_aa^3+log_ab^2=3+2\cdot log_ab\)
=>B
Nếu \({a^{\frac{1}{2}}} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) thì
A. \({\log _{\frac{1}{2}}}a = b\).
B. \(2{\log _a}b = 1\).
C. \({\log _a}\frac{1}{2} = b\).
D. \({\log _{\frac{1}{2}}}b = a\).
\({a^{\frac{1}{2}}} = b \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\log _a}b = 1\)
Chọn B.
bài 1: Cho biểu thức R = \(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{x-2\sqrt{x}}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{4}{x-4}\right)\)
a/ rút gọn R
b/ Tính giá trị R khi x = 4 + \(2\sqrt{3}\)
c/ Tìm giá trị của x để R >0
bài 2 : Cho A = 6 + 2\(\sqrt{2}\), B = 9 . So sánh A,B .
bài 3 : Chứng minh:
a/ \(\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)= a - b (với a >0, b>0, \(a\ne b\))
b/ \(\left(2+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a-1}}\right)\cdot\left(2-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)=4-a\)(với a >0, a\(\ne1\))
1. ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\end{cases}}\)
a. Ta có \(R=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right).\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)
\(=\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}-2+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
b. Với \(x=4+2\sqrt{3}\Rightarrow R=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+2}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}\left(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2\right)}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+2}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\left(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1+2}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\sqrt{3}+3}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\)
c. Để \(R>0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}>0\Rightarrow\sqrt{x}-2>0\Rightarrow x>4\)
Vậy \(x>4\)thì \(R>0\)
2. Ta có \(A=6+2\sqrt{2}=6+\sqrt{8};B=9=6+3=6+\sqrt{9}\)
Vì \(\sqrt{8}< \sqrt{9}\Rightarrow A< B\)
3. a. \(VT=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right).\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b=VP\left(đpcm\right)\)
b. Ta có \(VT=\left(2+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right).\left(2-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\)
\(=\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)=4-a=VP\left(đpcm\right)\)
Cho bốn số thực dương a, b, x, y với \(a,b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _b}y\).
B. \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
C. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).
D. \({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).
1.Tính giá trị của biểu thức: A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\:\sqrt{x}-1}\) khi x=9
2.Cho \(P=\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với x>0,x#1
a, Rút gọn P
b, Tính các giá trị của x để 2P=\(2\sqrt{x}+5\)
c,Với A,P là hai biểu thức ở trên,tìm x để \(\frac{A}{P}>2\)
1: Khi x=9 thì \(A=\dfrac{3+1}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2\)
2:
a: \(P=\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b: \(2P=2\sqrt{x}+5\)
=>\(P=\sqrt{x}+\dfrac{5}{2}\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{2\sqrt{x}+5}{2}\)
=>\(\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+5\right)=2\sqrt{x}+2\)
=>\(2x+3\sqrt{x}-2=0\)
=>\(\left(\sqrt{x}+2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
=>\(2\sqrt{x}-1=0\)
=>x=1/4
\(B=\left(\frac{6}{a-1}+\frac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}\) (với a>0;a≠1)
Đặt \(C=B\cdot\left(a-\sqrt{a}+1\right)\) . So sánh C và 1
uses crt;
var B,C: real;
a:real;
begin
clrscr;
writeln('a = '); read(a);
B:=(6/(a-1)+(10-2*sqrt(a))/(a*sqrt(a)-a-sqrt(a)+1))*(((sqrt(a)-1)*(sqrt(a)-1))/(4*sqrt(a)));
C:=B*(a-sqrt(a)+1);
if C > 1 then writeln('C > 1');
if C < 1 then writeln('C < 1');
if C = 1 then writeln('C = 1');
readln
end.
Hoạt động 5
Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1\,;\,c \ne 1\)
a) Bằng cách sử dụng tính chất \(b = {a^{{{\log }_a}b}}\), chứng tỏ rằng \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\)
b) So sánh \({\log _a}b\,\,\,và \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
a) \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a \Leftrightarrow {a^{{{\log }_c}b}} = {a^{{{\log }_a}b.{{\log }_c}a}} \Leftrightarrow {c^{{{\log }_c}b}} = {\left( {{c^{{{\log }_c}a}}} \right)^{{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow b = {a^{{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow b = b\) (luôn đúng)
Vậy \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\)
b) Từ \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)