Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).
B. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).
C. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).
D. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).
\(log_a\left(a^3b^2\right)=log_aa^3+log_ab^2=3+2\cdot log_ab\)
=>B
Hoạt động 5
Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1\,;\,c \ne 1\)
a) Bằng cách sử dụng tính chất \(b = {a^{{{\log }_a}b}}\), chứng tỏ rằng \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\)
b) So sánh \({\log _a}b\,\,\,và \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
a) \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a \Leftrightarrow {a^{{{\log }_c}b}} = {a^{{{\log }_a}b.{{\log }_c}a}} \Leftrightarrow {c^{{{\log }_c}b}} = {\left( {{c^{{{\log }_c}a}}} \right)^{{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow b = {a^{{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow b = b\) (luôn đúng)
Vậy \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\)
b) Từ \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số lôgarit \(y = {\log _a}x;\,y = {\log _b}x;\,y = {\log _c}x\) được cho bởi Hình 15. Kết luận nào sau đây là đúng với ba số a, b, c?
A. c < a < b
B. c < b < a
C. a < b < c
D. b < c < a
Cho đồ thị ba hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a > b > c\).
B. \(b > a > c\).
C. \(a > b > c\).
D. \(b > c > a\).
Hàm số \(y=log_cx\) nghịch biến
\(\Rightarrow0< c< 1\) và các hàm \(y=log_ax,y=log_bx\) đồng biến nên \(a,b>1\)
Ta chọn \(x=100\Rightarrow log_a>log_b100\Rightarrow a< b\Rightarrow b>a>c\)
\(\Rightarrow B\)
\(log_cx\) nghịch biến biến nên 0<c<1
\(log_ax;log_bx\) đồng biến nên a>1; b>1
=>Loại D
\(log_ax>log_bx\left(x>1\right)\)
=>\(\dfrac{1}{log_xa}< \dfrac{1}{log_xb}\)
=>a<b
=>Chọn B
Giả sử đã cho \({\log _a}M\) và ta muốn tính \({\log _b}M.\) Để tìm mối liên hệ giữa \({\log _a}M\) và \({\log _b}M,\) hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt \(y = {\log _a}M,\) tính M theo y;
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.
a) \(y = {\log _a}M \Leftrightarrow M = {a^y}\)
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của \(M = {a^y}\) ta được
\({\log _b}M = {\log _b}{a^y} \Leftrightarrow {\log _b}M = y{\log _b}a \Leftrightarrow y = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\)
Hoạt động 2
Cho \(a > 0;a \ne 1\). Tình:
a) \({\log _a}1\)
b) \({\log _a}a\)
c) \({\log _a}{a^c}\)
d) \({a^{{{\log }_a}b}}\,\,\,(b > 0)\)
\(a,log_a1=c\Leftrightarrow a^c=1\Leftrightarrow c=0\Rightarrow log_a1=0\\ b,log_aa=c\Leftrightarrow a^c=a\Leftrightarrow c=1\Rightarrow log_aa=1\\ c,log_aa^c=b\Leftrightarrow a^b=a^c\Leftrightarrow b=c\Rightarrow log_aa^c=c\\ d,a^{log_ab}=c\Leftrightarrow log_ab=log_ac\Leftrightarrow b=c\Rightarrow a^{log_ab}=b\)
Hoạt động 4
Cho \(a > 0;a \ne 1;b > 0\), α là một số thực
a) Tính \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}\)
b) So sánh \({\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b\)
\(a,a^{log_ab^{\alpha}}=c\Leftrightarrow log_ac=log_ab^{\alpha}\Leftrightarrow c=b^{\alpha}\Rightarrow a^{log_ab^{\alpha}}=b^{\alpha}\\ a^{\alpha log_ab}=c\Leftrightarrow\alpha log_ab=log_ac\Leftrightarrow log_ab^{\alpha}=log_ac\Leftrightarrow b^{\alpha}=c\Rightarrow a^{\alpha log_ab}=b^{\alpha}\\ \Rightarrow a^{log_ab^{\alpha}}=a^{\alpha log_ab}\)
\(b,a^{log_ab^{\alpha}}=a^{\alpha log_ab}\\ \Rightarrow log_ab^{\alpha}=\alpha log_ab\)
Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) và \(y = b\) như Hình 3a (với \(a > 1\)) hay Hình 3b (với \(0 < a < 1\)). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình \({\log _a}x = b\).
tham khảo.
Đồ thị của hai hàm số \(y=\log_ax\) và \(y=b\) luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình \(\log_ax=b\) có nghiệm duy nhất \(x=a^b\).
Đề bài
Cho \({\log _a}b = 2\). Tính:
a) \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right)\)
b) \({\log _a}\frac{{a\sqrt a }}{{b\sqrt[3]{b}}}\)
c) \({\log _a}(2b) + {\log _a}\left( {\frac{{{b^2}}}{2}} \right)\)
a) \(\log_a\left(a^2b\right)=\log_aa^2+\log_ab=2.\log_aa+\log_ab=2.1+2=4\)
b) \(\log_a\dfrac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{a}}=\log_a\left(a\sqrt{a}\right)-\log_a\left(b\sqrt[3]{b}\right)=\log_aa^{\dfrac{3}{2}}-\log_ab^{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}.\log_aa-\dfrac{4}{3}\log_ab=\dfrac{3}{2}.1-\dfrac{4}{3}.2=-\dfrac{7}{6}\)
c) \(\log_a\left(2b\right)+\log_a\left(\dfrac{b^2}{2}\right)=\log_a2+\log_ab+\log_ab^2-\log_a2=\log_ab+2\log_ab=3\log_ab=3.2=6\)
a: \(=log_aa^2+log_ab=2+2=4\)
b: \(log_a\left(\dfrac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}\right)=log_aa^{\dfrac{3}{2}}-log_ab^{\dfrac{4}{3}}\)
=3/2-4/3*2
=3/2-8/3
=9/6-16/6=-7/6
c: \(log_a\left(2b\right)+log_a\left(\dfrac{b^2}{2}\right)\)
\(=log_a\left(2b\cdot\dfrac{b^2}{2}\right)=log_a\left(b^3\right)=3\cdot2=6\)
