a: góc IBC=góc ABC/2

góc ICB=góc ACB/2

mà góc ABC=góc ACB

nên góc IBC=góc ICB

=>ΔICB cân tại I

b: AB=AC

IB=IC

=>AI là trung trực của BC

`a)` 

có : BI là phan giác của góc `ABC`

`=> góc ABI = góc IBC = 1/2 góc ABC`

CI là phân giác của góc `ACB`

`=> góc ACI = góc ICB = 1/2 góc ACB`

Mà `góc ABC = góc ACB`(tam giác `ABC` cân)

`=> góc IBC = góc ICB`

`=>` tam giác ` BIC` cân

`b)`

Có :

tam giác `ABC` cân 

`=> AB = AC `

`=> B` thuộc đường trung trực của BC (1)

lại có tam giác `BIC` cân 

`=> BI = IC`

`=> I` thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ `(1),(2) => AI` là đường trung trực của BC

Tam giác ABC có I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C

=> AI là phân giác của góc A(1)

Mà tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC 

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa phân giác của góc A(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI trùng AM

=> A; I; M thằng hàng.

Gọi giao điểm của BI với AC là E, giao điểm của CI và AB và F

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)

Xét ΔFBC và ΔECB có

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)(cmt)

Do đó: ΔFBC=ΔECB(g-c-g)

Suy ra: FB=EC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)

Xét ΔFBI và ΔECI có 

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)

FB=EC(cmt)

\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)(cmt)

Do đó: ΔFBI=ΔECI(g-c-g)

Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: IB=IC(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(Đpcm)

a: Xét ΔKBC vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

BC chung

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\)

Do đó: ΔKBC=ΔHCB

Suy ra: \(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\)

hay ΔIBC cân tại I

b: Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

AI chung

BI=CI

Do đó: ΔABI=ΔACI

Suy ra: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

hay AI là tia phân giác của góc A

a, Ta có: Tam giác ABC cân tại A (gt)

=> góc ABC = góc ACB

=> 1/2 góc ABC = 1/2 góc ACB

=> góc IBC = góc ICB

=> Tam giác BIC cân tại I

b, Gọi M là giao điểm của AI với BC

Ta có tam giác BIC cân (câu a)

=> IB = IC ( cặp góc tương ứng )

Xét tam giác ABI và tam giác ACI:

AB = AC (gt)

góc ABI = góc ACI (c.m trên )

IB = IC (c.m trên )

=> Tam giác ABI = tam giác ACI (c.g.c)

=>góc BAI = góc CAI ( cặp góc tương ứng )

Xét tam giác BAM và tam giác CAM

góc BAI = góc CAI (c.m trên)

AB = AC (gt)

góc ABC = góc ACB (gt)

=> tam giác BAM = tam giác CAM (g.c.g)

=>BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (1)

=>góc AMB = góc AMC (cặp góc tương ứng )

mà góc AMB + góc AMC = 180^o (kề bù)

=> góc AMB = góc AMC = 180^o / 2 = 90^o (2)

Từ (1)(2) => AI trung trực BC

Gọi M, N là trung điểm của AB và AC.

Ta có: AM = 1/2 AB (gt); AN = 1/2 AC (gt)

Mà AB = AC (gt)

⇒ AM = AN

Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:

∠(AMI) = ∠(ANI) = 90o

AM = AN (chứng minh trên)

AI cạnh huyền chung

⇒ ΔAMI= ΔANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒ ∠(A1) = ∠(A2) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của ∠(BAC)